6. Zadatak

Rješenje nejednadžbe $|x|\le2016\pi$ je interval $[-2016\pi,2016\pi]$.

Pojednostavimo preostalu nejednadžbu.

$$12^{2\sin x\cos x}\cdot14^{\frac{\sin x\cos x}{\sin^2x+\cos^2x}}\ge2016^{1/4}$$ $$144^{\sin x\cos x}\cdot14^{\sin x\cos x}\ge2016^{1/4}$$ $$(144\cdot14)^{\sin x\cos x}\ge2016^{1/4}$$ $$2016^{\sin x\cos x}\ge2016^{1/4}$$ $$\sin x\cos x\ge\frac14$$ $$2\sin x\cos x\ge\frac12$$ $$\sin(2x)\ge\frac12.$$ $$\frac\pi6+2k\pi\le2x\le\frac{5\pi}6+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z$$

odnosno

$$\frac\pi{12}+k\pi\le x\le\frac{5\pi}{12}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Dakle, rješenje prve nejednadžbe je unija svih intervala

$$\left[\frac\pi{12}+k\pi,\frac{5\pi}{12}+k\pi\right],\qquad k\in\mathbb Z.\tag{*}$$

Svi dobiveni intervali su duljine $5\pi/12-\pi/12=\pi/3$.

Unutar skupa $[-2016\pi,2016\pi]$ nalazi se $4032$ intervala $(*)$, pa tražena ukupna duljina iznosi

$$4032\cdot\frac\pi3=1344\pi.$$