8. Zadatak

Skica:

Uvedimo sljedeće oznake: $v$ je visina krnje piramide, $d=|AC|$, $d_1=|EG|$, $x=|PK|$, $y=|PC|$.

Traženo oplošje nastale piramide $KLCG$ (s vrhom u $G$ i osnovicom $KLC$) računamo kao zbroj površina:

$$O=P_{\triangle KLG}+2\cdot P_{\triangle KCG}+P_{\triangle KCL}.$$

Da bismo mogli izračunati površinu danog presjeka, trokuta $\triangle KLG$, odredimo:

$$\begin{gathered} y=\frac{d-d_1}2=\frac{12\sqrt2-8\sqrt2}2=2\sqrt2\text{ cm},\\ v=\sqrt{b^2-y^2}=\sqrt{400-(2\sqrt2)^2}=\sqrt{392}=14\sqrt2\text{ cm}. \end{gathered}$$

Iz sličnosti trokuta $\triangle MBC$ i $\triangle PKC$ slijedi $\frac{\frac d2}x=\frac{\frac d2}y$, odnosno, $x=y=2\sqrt2$ cm

i $\frac{|KC|}a=\frac y{\frac d2}$, odnosno $|KC|=4$ cm.

$$P_{\triangle KLG}=\frac{2xv}2=56\text{ cm}^2.$$

Osnovica piramide je $\triangle KLC$, a njegova je površina

$$P_{\triangle KLC}=\frac{2xy}2=8\text{ cm}^2.$$

Bočne strane piramide su sukladni trokuti $\triangle KCG$ i $\triangle LCG$ s osnovicom duljine $|KC|=4$ cm i visinom jednakoj visini jednakokračnog trapeza $BCGF$.

Stoga je

$$P_{\triangle KCG}=\frac{4\cdot\sqrt{400-4}}2=12\sqrt{11}\text{ cm}^2.$$

I, konačno, $O=56+8+2\cdot12\sqrt{11}=64+24\sqrt{11}$ cm$^2$.