4. Zadatak

Prvo rješenje.

Faktoriziramo li brojnik i nazivnik, nejednadžbu možemo zapisati kao

$$\frac{px(p-2x)}{q^2x(0.25qx+1)}\geq0.$$

Uočimo da za $x=0$ razlomak nije definiran, pa taj broj ne može biti rješenje nejednadžbe. Budući da se u skupu rješenja nalaze svi elementi skupa $[-1,2\rangle$ osim realnog broja $r$, zaključujemo da je $r=0$.

Nadalje, mora vrijediti $q\neq0$. Promotrimo nejednadžbu

$$\frac{p(p-2x)}{0.25qx+1}\geq0.$$

Budući da je $q^2>0$, skupovi rješenja te nejednadžbe i nejednadžbe iz zadatka razlikuju se samo u broju $0$, odnosno tražimo realne brojeve $p$ i $q$ takve da je $[-1,2\rangle$ skup rješenja te nejednadžbe.

Ako je $p=0$, onda je skup rješenja te nejednadžbe čitav skup realnih brojeva, što ne odgovara uvjetu iz zadatka. Dakle, $p\neq0$.

Ako je $pq<0$, onda je skup rješenja te nejednadžbe unija dva intervala, što također ne odgovara uvjetu zadatka.

Ako je $p>0$ i $q>0$, onda je skup rješenja te nejednadžbe $\left\langle-\frac4q,\frac p2\right]$, što opet ne odgovara uvjetu zadatka.

Stoga mora vrijediti $p<0$ i $q<0$, te je tada skup rješenja te nejednadžbe $\left[\frac p2,-\frac4q\right\rangle$. Budući da tražimo realne brojeve $p$ i $q$ takve da je skup rješenja $[-1,2\rangle$, slijedi da je $p=q=-2$.

Drugo rješenje.

Budući da su brojnik i nazivnik umnošci linearnih izraza u nepoznanici $x$, skup rješenja nejednadžbe unija je intervala realnih brojeva čiji rubovi su nultočke brojnika ili nazivnika, pri čemu nultočke nazivnika nisu uključene u skup rješenja, a nultočke brojnika jesu ako nisu ujedno nultočke nazivnika.

Nultočke nazivnika $0.25q^3x^2+q^2x=xq^2(0.25qx+1)$ su $x=0$ ili $x=-\frac4q$, pa ta dva realna broja ne mogu biti u skupu rješenja nejednadžbe. Iz uvjeta zadatka vidimo da su iz skupa rješenja isključeni brojevi $x=r$ i $x=2$, pa zaključujemo da mora vrijediti $r=0$ i $q=-2$.

Nultočke brojnika $-2px^2+p^2x=px(p-2x)$ su $x=0$ i $x=\frac p2$. Uočimo da je $x=0$ i nultočka nazivnika, te za tu vrijednost algebarski razlomak iz nejednadžbe nije definiran. Druga nultočka brojnika mora biti $x=-1$, tj. slijedi da mora vrijediti $p=-2$.

Još je potrebno provjeriti da uz $p=q=-2$, nejednadžba zaista ima skup rješenja $[-1,2\rangle\setminus\{0\}$ (a ne, na primjer, $\langle-\infty,-1]\cup\langle2,+\infty\rangle$). Zaista, za $p=q=-2$ nejednadžba glasi

$$\frac{4x^2+4x}{-2x^2+4x}\geq0,$$

te je izraz na lijevoj strani nejednadžbe nenegativan ako i samo ako je $x\neq0$, te vrijedi $x+1\geq0$ i $-x+2>0$, odnosno skup rješenja te nejednadžbe je $[-1,2\rangle\setminus\{0\}$.