3. Zadatak

Prvo rješenje.

Središnji kutovi koji određuju lukove dijele puni kut u omjeru jednakom omjeru duljina lukova. Budući da je $360^\circ:(3+2+7)=30^\circ$, mjere središnjih kutova iznose:

$$|\angle BSC|=3\cdot30^\circ=90^\circ,$$ $$|\angle CSA|=2\cdot30^\circ=60^\circ,$$ $$|\angle ASB|=7\cdot30^\circ=210^\circ.$$

Neka je $r$ polumjer opisane kružnice trokuta $ABC$.

Površina trokuta $ABC$ jednaka je

$$P_{ABC}=P_{ASC}+P_{BSC}-P_{ABS} =\frac{r^2}{2}\sin60^\circ+\frac{r^2}{2}\sin90^\circ-\frac{r^2}{2}\sin150^\circ.$$

Budući da je

$$\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12,$$

površina trokuta $ABC$ iznosi

$$P=\frac{r^2}{2}\left(\frac{\sqrt3}{2}+1-\frac12\right) =\frac{r^2(\sqrt3+1)}4.$$

Vjerojatnost da se slučajno odabrana točka kruga opisanoga trokutu $ABC$ nalazi unutar trokuta $ABC$ iznosi

$$\frac{P_{ABC}}{P_{\text{kruga}}} =\frac{\frac{r^2(\sqrt3+1)}4}{r^2\pi} =\frac{\sqrt3+1}{4\pi}.$$

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju pokazujemo da mjere središnjih kutova iznose:

$$|\angle BSC|=90^\circ,\qquad |\angle CSA|=60^\circ \qquad\text{i}\qquad |\angle ASB|=210^\circ.$$

Označimo $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ redom mjere kutova $\angle BAC$, $\angle CBA$ i $\angle ACB$. Kutovi trokuta su pripadni obodni kutovi, čije mjere su jednake polovinama mjera središnjih kutova, odnosno vrijedi

$$\alpha=45^\circ,\qquad \beta=30^\circ\qquad\text{i}\qquad\gamma=105^\circ.$$

Označimo $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$, te neka je $x=|AD|$, $y=|BD|$ i $z=|CD|$.

Uočimo da je trokut $CSB$ jednakokračan pravokutan, pa vrijedi $a=r\sqrt2$ i $|\angle DCB|=45^\circ$.

Nadalje, trokut $ASC$ je jednakostraničan jer je $|AS|=|CS|$ i $|\angle CSA|=60^\circ$, pa vrijedi $b=r$.

U trokutima $ABC$ i $CBD$ vrijedi $|\angle BAC|=|\angle DCB|$ i $|\angle CBA|=|\angle CBD|$, pa su po KK poučku ti trokuti slični. Iz sličnosti slijedi

$$\frac ya=\frac ac\Rightarrow y=\frac{a^2}{c}=\frac{2r^2}{c}.$$

Po poučku o sinusima za trokut $CBD$ slijedi

$$\frac{y}{\sin45^\circ}=\frac{z}{\sin30^\circ} \Rightarrow z=\frac{y\sqrt2}{2}=\frac{r^2\sqrt2}{c}.$$

Po poučku o sinusima za trokut $ADC$ slijedi

$$\frac{x}{\sin60^\circ}=\frac{z}{\sin45^\circ} \Rightarrow x=\frac{z\sqrt6}{2}=\frac{r^2\sqrt3}{c}.$$

Budući da je $c=x+y$, zaključujemo

$$c=\frac{r^2\sqrt3}{c}+\frac{2r^2}{c} \Rightarrow c^2=r^2(2+\sqrt3) \Rightarrow c=r\sqrt{2+\sqrt3}.$$

Površinu trokuta $ABC$ računamo po formuli

$$P_{ABC}=\frac{abc}{4r} =\frac{r^3\sqrt2\cdot\sqrt{2+\sqrt3}}{4r} =\frac{r^2\sqrt{4+2\sqrt3}}4.$$

Vjerojatnost da se slučajno odabrana točka kruga opisanoga trokutu $ABC$ nalazi unutar trokuta $ABC$ iznosi

$$\frac{P_{ABC}}{P_{\text{kruga}}} =\frac{\frac{r^2\sqrt{4+2\sqrt3}}4}{r^2\pi} =\frac{\sqrt{4+2\sqrt3}}{4\pi}.$$

Napomena: Budući da vrijedi $(\sqrt3+1)^2=3+2\sqrt3+1=4+2\sqrt3$, odnosno $\sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt3+1$, u oba rješenja smo dobili istu površinu trokuta $ABC$ i traženu vjerojatnost.

Duljinu stranice $c$ možemo izračunati iz jednakokračnog trokuta $ASB$. Primjenom adicijske formule dobivamo

$$\begin{aligned} \frac{c}{2r}&=\sin75^\circ=\sin(30^\circ+45^\circ)\\ &=\sin30^\circ\cos45^\circ+\sin45^\circ\cos30^\circ\\ &=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}, \end{aligned}$$

tj. $c=\frac r2\cdot(\sqrt2+\sqrt6)$. Također vrijedi $c^2=r^2(2+\sqrt3)$, odnosno $c=r\sqrt{2+\sqrt3}$.