5. Zadatak

Tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije $f$.

Zapišimo funkciju $f$ u pogodnijem obliku:

$$f(x)=2\cos2x+4\cos x+3=2(2\cos^2x-1)+4\cos x+3=(2\cos x+1)^2.$$

Funkcija $f$ će imati najveću vrijednost kada kosinus ima najveću vrijednost, odnosno kada je $\cos x=1$. Dakle, maksimum je $(2+1)^2=9$.

Minimum je očito $0$ jer je $f(x)\ge0$ za sve $x\in\mathbb{R}$, a $f(x)=0$ za $\cos x=-0.5$.

Zaključak je

$$f(x)\in[0,9].$$