6. Zadatak

Prvo rješenje.

Zbrajanjem danih jednadžbi imamo

$$\frac{\cos x}{\cos y}+\frac{\sin x}{\sin y}=2.$$

Nakon množenja sa $\sin y\cos y$ slijedi

$$\sin x\cos y+\cos x\sin y=2\sin y\cos y,$$

odnosno

$$\sin(x+y)=\sin2y.$$

Imamo dva slučaja:

Prvi slučaj. Iz $x+y=2y$ slijedi $x=y$, pa imamo

$$\frac{\sin x}{\sin x}=2\sin^2x,$$

odakle je

$$2\sin^2x=1,\qquad \sin^2x=\frac12.$$

Jednadžba $\sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$ na $\langle0,\frac\pi2\rangle$ ima rješenje $x_1=\frac\pi4$. Jedno je rješenje sustava

$$x=\frac\pi4,\qquad y=\frac\pi4.$$

Drugi slučaj. Iz $x+y=\pi-2y$ slijedi $x=\pi-3y$, pa je

$$\frac{\sin(\pi-3y)}{\sin y}=2\sin^2y,$$

odnosno

$$\frac{\sin3y}{\sin y}=2\sin^2y.$$

Budući da je $\sin3y=3\sin y-4\sin^3y$, dobivamo

$$\frac{3\sin y-4\sin^3y}{\sin y}=2\sin^2y,$$ $$3-4\sin^2y=2\sin^2y,$$ $$6\sin^2y=3,\qquad 2\sin^2y=1,\qquad \sin^2y=\frac12.$$

Jednadžba $\sin y=\pm\frac{\sqrt2}{2}$ na $\langle0,\frac\pi2\rangle$ ima rješenje $y_1=\frac\pi4$. A to nam opet daje isto rješenje sustava.

Drugo rješenje.

Na isti način svodimo sustav na jednadžbu

$$\sin(x+y)=\sin2y.$$

Ovu jednadžbu možemo riješiti koristeći formule pretvorbe.

$$\sin(x+y)-\sin2y=0$$ $$2\cos\frac{x+3y}{2}\sin\frac{x-y}{2}=0.$$

Tada je

$$\cos\frac{x+3y}{2}=0\qquad\text{ili}\qquad\sin\frac{x-y}{2}=0.$$

Slijedi

$$\frac{x+3y}{2}=\frac\pi2\qquad\text{ili}\qquad\frac{x-y}{2}=0.$$

Odavde je $x=\pi-3y$ ili $x=y$.

Dalje ide analogno kao i u prvom rješenju.