4. Zadatak
Klara je čekajući u redu za ulaznice kratila vrijeme zapisujući na papiru redom prirodne brojeve jedan pokraj drugog počevši od broja 1. Pri tome nije zapisivala brojeve koji sadrže znamenku 3. Zadnji broj koji je zapisala prije nego je došla na red je 9999.
Koliko ukupno znamenaka ima broj koji je Klara takvim zapisivanjem dobila? Koja je znamenka 2019. po redu?
Klarin broj je .
Kako bismo izračunali ukupan broj znamenaka broja moramo odrediti koliko je prirodnih brojeva manjih od 10000 koji ne sadrže znamenku 3 u svom zapisu.
Na početku je 8 jednoznamenkastih brojeva: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Dvoznamenkastih brojeva koji ne sadrže znamenku 3 ima jer prvu znamenku možemo odabrati na 8 načina (ne može biti 0 ni 3), a drugu na 9 (ne može biti 3, ali može biti 0). To nam daje znamenke u nizu.
Analogno, troznamenkastih brojeva koji ne sadrže znamenku 3 ima . Time dobivamo 1944 znamenke u nizu.
Četveroznamenkastih brojeva koji ne sadrže znamenku 3 ima što daje 23328 znamenaka.
Dakle broj ima ukupno znamenaka.
Treba još odrediti 2019. znamenku po redu.
U trenutku kad smo ispisali sve troznamenkaste brojeve s traženim svojstvom, zapisali smo znamenki. To znači da je 2096. po redu zadnja znamenka broja 999, pa ćemo 2019. znamenku tražiti među troznamenkastim brojevima.
Dakle, treba se vratiti znamenki unazad, što je 25 troznamenkastih brojeva i još dvije znamenke. Kako od 990 do 999, od 980 do 989 i od 970 do 979 ima po 9 brojeva koji ne sadrže znamenku 3, vratimo li se 27 brojeva unazad doći ćemo do zadnje znamenke broja 969. Kako je , ta je znamenka 2015. po redu.
Sljedeće tri znamenke su znamenke broja 970 pa 2019. po redu prva znamenka broja 971, dakle znamenka 9.