2. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako je $\overrightarrow{AB}=-\vec a+4\vec b$ i $\overrightarrow{AC}=-3\vec a+2\vec b$, tada je

$$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} =(-\vec a+4\vec b)-(-3\vec a+2\vec b)=2\vec a+2\vec b$$ $$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{CB} =(-3\vec a+2\vec b)+(\vec a+\vec b)=-2\vec a+3\vec b$$

Izračunajmo duljine tih vektora, odnosno duljine stranica trokuta $ABC$ i duljinu težišnice $AP$.

Pri tome ćemo koristiti činjenicu da je $\vec a^{\,2}=|\vec a|^2=1$, $\vec b^{\,2}=|\vec b|^2=1$ i $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos60^\circ=\dfrac12$.

Slijedi

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{AC}|^2&=(-3\vec a+2\vec b)^2 =9|\vec a|^2-12\vec a\cdot\vec b+4|\vec b|^2 =9-12\cdot\frac12+4=7,\\ |\overrightarrow{CB}|^2&=(2\vec a+2\vec b)^2 =4|\vec a|^2+8\vec a\cdot\vec b+4|\vec b|^2 =4+8\cdot\frac12+4=12,\\ |\overrightarrow{AP}|^2&=(-2\vec a+3\vec b)^2 =4|\vec a|^2-12\vec a\cdot\vec b+9|\vec b|^2 =4-12\cdot\frac12+9=7. \end{aligned}$$

Dakle $|AC|=|AP|=\sqrt7$, $|CB|=2\sqrt3$.

Kako je trokut $APC$ jednakokračan, vrijedi

$$|AD|^2=|AP|^2-\left(\frac14|BC|\right)^2 =7-\frac{12}{16}=\frac{25}{4},$$

te je $|AD|=\dfrac52$.

Zato je $\cos\varphi=\dfrac{|AD|}{|AP|}=\dfrac5{2\sqrt7}=\dfrac{5\sqrt7}{14}$.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju, $\overrightarrow{CB}=2\vec a+2\vec b$, $\overrightarrow{AP}=-2\vec a+3\vec b$.

Neka je $\lambda$ takav da je

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\lambda\overrightarrow{CB} =(2\lambda-3)\vec a+(2+2\lambda)\vec b.$$

Kako je $\overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{CD}$ vrijedi $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ odnosno

$$(2\lambda-3)\vec a^{\,2}+(4\lambda-1)\vec a\cdot\vec b+(2+2\lambda)\vec b^{\,2}=0.$$

Kako je $\vec a^{\,2}=1$, $\vec b^{\,2}=1$ i $\vec a\cdot\vec b=\dfrac12$, slijedi

$$(2\lambda-3)+(4\lambda-1)\cdot\frac12+(2+2\lambda)=0$$

odakle dobivamo $\lambda=\dfrac14$. Dakle, $\overrightarrow{AD}=-\dfrac52\vec a+\dfrac52\vec b$.

Konačno imamo

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AD} &=(-2\vec a+3\vec b)\left(-\frac52\vec a+\frac52\vec b\right)\\ &=5|\vec a|^2-\frac{25}{2}\vec a\cdot\vec b+\frac{15}{2}|\vec b|^2 =5-\frac{25}{2}\cdot\frac12+\frac{15}{2}=\frac{25}{4}\\ |\overrightarrow{AP}|^2&=(-2\vec a+3\vec b)^2=7,\qquad |\overrightarrow{AP}|=\sqrt7\\ |\overrightarrow{AD}|^2&=\left(-\frac52\vec a+\frac52\vec b\right)^2=\frac{25}{4},\qquad |\overrightarrow{AD}|=\frac52\\ \cos\varphi&=\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AD}} {|\overrightarrow{AP}|\cdot|\overrightarrow{AD}|}=\frac{5\sqrt7}{14}. \end{aligned}$$