1. Zadatak

Da bi svi izrazi bili definirani, mora vrijediti $x>0$ i $x\neq1$. Uz taj uvjet i svojstva logaritma zadana je nejednadžba ekvivalentna nejednadžbama

$$\sqrt{4^x+1}\geq\left|4^{x-1}-1\right|+4^x\cdot\frac12,$$ $$\sqrt{4^x+1}\geq\left|\frac14\cdot4^x-1\right|+\frac12\cdot4^x.$$

Uvedimo supstituciju $t=4^x$. Zbog $x>0$, $x\neq1$ vrijedi $t>1$ i $t\neq4$.

Slijedi $\sqrt{t+1}\geq\left|\dfrac14t-1\right|+\dfrac12t$,

a nakon množenja s 4 dobivamo

$$\sqrt{16t+16}\geq|t-4|+2t. \tag{*}$$

Prvi slučaj. Neka je $1<t<4$.

Tada imamo $\sqrt{16t+16}\geq-t+4+2t$, odnosno $\sqrt{16t+16}\geq t+4$.

Kako je $t+4>0$, kvadriranje je dozvoljeno pa slijedi $16t+16\geq t^2+8t+16$, odnosno $t^2-8t\leq0$.

Kako je $t>1$ dobivamo $t\leq8$ što znači da je svaki $t$ za koji vrijedi $1<t<4$ rješenje nejednadžbe (*).

Zadanu nejednadžbu zadovoljavaju svi $x$ za koje je $1<4^x<4$ odnosno $0<x<1$.

Drugi slučaj. Neka je $t>4$.

Tada dana nejednakost postaje $\sqrt{16t+16}\geq t-4+2t$, odnosno $\sqrt{16t+16}\geq3t-4$.

Ako je $t>4$, onda je $3t-4>0$ pa je kvadriranje dozvoljeno.

Dobivamo $16t+16\geq9t^2-24t+16$, odnosno $9t^2-40t\leq0$. Slijedi $9t-40\leq0$ te $4<t\leq\dfrac{40}{9}$.

Tada je $4<4^x\leq\dfrac{40}{9}$ tj. $1<x\leq\log_4\dfrac{40}{9}$.

Konačno rješenje je $x\in\langle0,1\rangle\cup\left\langle1,\log_4\dfrac{40}{9}\right]$.