5. Zadatak

Ako unutar trokuta $ABC$ postoji točka $P$ takva da je

\angle PAB=10^\circ,\qquad \angle PBA=20^\circ,\qquad \angle PCA=30^\circ,\qquad \angle PAC=40^\circ,

dokažite da je trokut $ABC$ jednakokračan.

Rješenje

Trokut ABC s unutarnjom točkom P i označenim kutovima

Primijenimo li poučak o sinusima na trokut $PAB$ dobivamo:

\begin{aligned} |PA|&=|AB|\frac{\sin20^\circ}{\sin150^\circ} =|AB|\frac{\sin20^\circ}{\sin30^\circ}=2|AB|\sin20^\circ\\ |PB|&=|AB|\frac{\sin10^\circ}{\sin150^\circ}=2|AB|\sin10^\circ. \end{aligned}

Primijenimo li poučak o sinusima na trokut $PAC$ dobivamo:

\begin{aligned} |PC|&=|PA|\frac{\sin40^\circ}{\sin30^\circ} =4|AB|\sin20^\circ\sin40^\circ\\ &=2|AB|(\cos20^\circ-\cos60^\circ) =2|AB|\left(\cos20^\circ-\frac12\right)\\ &=2|AB|\left(1-2\sin^210^\circ-\frac12\right) =2|AB|\left(\frac12-2\sin^210^\circ\right). \end{aligned}

U trokutu $PCB$ vrijedi:

\begin{aligned} |BC|^2={}&|PB|^2+|PC|^2-2|PB|\cdot|PC|\cos100^\circ\\ ={}&4|AB|^2\sin^210^\circ +4|AB|^2\left(\frac12-2\sin^210^\circ\right)^2\\ &+8|AB|^2\sin^210^\circ\left(\frac12-2\sin^210^\circ\right)\\ ={}&|AB|^2\left(4\sin^210^\circ+(1-8\sin^210^\circ+16\sin^410^\circ) +(4\sin^210^\circ-16\sin^410^\circ)\right)\\ ={}&|AB|^2. \end{aligned}

Dakle, $|BC|=|AB|$ pa je trokut $ABC$ jednakokračan.