3. Zadatak

Razvoj binoma

$$\left(ax+\frac1{x^2}\right)^6$$

po potencijama od $x$ glasi

$$\left(ax+\frac1{x^2}\right)^6 =\sum_{k=0}^6\binom6k(ax)^{6-k}\left(\frac1{x^2}\right)^k.$$

Potencija $x^6$ se postiže za

$$x^{6-k}\cdot\left(\frac1{x^2}\right)^k=x^6.$$

Tada je $6-k-2k=6$, odnosno $k=0$.

Stoga je koeficijent uz $x^6$ jednak

$$\binom60a^{6-0}=a^6.$$

Potencija $x^{-9}$ se postiže za

$$x^{6-k}\cdot\left(\frac1{x^2}\right)^k=x^{-9}.$$

Tada je $6-k-2k=-9$, tj. $k=5$.

Stoga je koeficijent uz $x^{-9}$ jednak

$$\binom65a^{6-5}=6a.$$

Prema uvjetu zadatka vrijedi

$$a^6=6a+52.$$

Jedno rješenje ove jednadžbe je $a=2$.

Ako se nacrtaju grafovi funkcija $f(x)=x^6$ i $g(x)=6x+52$ vidimo da se sijeku samo u jednoj točki za $x>0$, stoga je $a=2$ jedino pozitivno rješenje.

Napomena: Ako se binom razvije kao

$$\left(ax+\frac1{x^2}\right)^6 =\sum_{k=0}^6\binom6k(ax)^k\left(\frac1{x^2}\right)^{6-k},$$

tada se $x^6$ postiže za $k=6$, a $x^{-9}$ za $k=1$.

Jedinstvenost rješenja $a=2$ jednadžbe $a^6=6a+52$ može se pokazati i algebarski.

Za $0<a<2$ vrijedi

$$a^6=a^5\cdot a<32a=6a+26a<6a+52,$$

a za $a>2$ vrijedi

$$a^6=a^5\cdot a>32a=6a+26a>6a+52.$$