2. Zadatak

Prvo rješenje

Iz

$$x_1+x_2+\ldots+x_{n-1}+x_n=n^2x_n$$

slijedi

$$x_1+x_2+\ldots+x_{n-1}=n^2x_n-x_n=(n^2-1)x_n.$$

Primijenimo li

$$x_1+x_2+\ldots+x_{n-2}+x_{n-1}=(n-1)^2x_{n-1},$$

zaključujemo da za sve $n\geq2$ vrijedi

$$(n-1)^2x_{n-1}=(n^2-1)x_n.$$

Dijeljenjem sa $n^2-1$ (što je različito od $0$ jer je $n\geq2$) dobivamo

$$x_n=\frac{(n-1)^2}{n^2-1}x_{n-1} =\frac{n-1}{n+1}x_{n-1}.$$

Slijedi

$$\begin{aligned} x_n &=\frac{n-1}{n+1}x_{n-1}\\ &=\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-2}{n}x_{n-2}\\ &=\ldots\\ &=\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-2}{n}\cdot\ldots\cdot\frac35\cdot\frac24\cdot\frac13x_1\\ &=\frac2{(n+1)n}x_1. \end{aligned}$$

Traženi član iznosi

$$x_{2026}=\frac2{2027\cdot2026}\cdot1013=\frac1{2027}.$$

Drugo rješenje

Iz

$$x_1+x_2=2^2\cdot x_2$$

slijedi da je $x_2=\frac13x_1$, a iz

$$x_1+x_2+x_3=3^2\cdot x_3$$

da je $x_3=\frac16x_1$.

Slično dobivamo

$$x_4=\frac1{10}x_1,\qquad x_5=\frac1{15}x_1,\qquad x_6=\frac1{21}x_1,$$

itd.

Na temelju ovih formula postavljamo hipotezu da općenito vrijedi

$$x_n=\frac1{1+2+\ldots+n}x_1,\qquad n\in\mathbb N.$$

Budući da je

$$1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2,$$

hipoteza glasi

$$x_n=\frac{2x_1}{n(n+1)}$$

za sve $n\in\mathbb N$.

Tvrdnju dokazujemo matematičkom indukcijom. Baza indukcije za $n=1$ očito vrijedi.

Neka je $k\geq2$ prirodni broj i pretpostavimo da tvrdnja

$$x_n=\frac{2x_1}{n(n+1)}$$

vrijedi za sve prirodne brojeve $n<k$.

Tada iz

$$x_1+x_2+\cdots+x_{k-1}+x_k=k^2x_k$$

dobivamo

$$\begin{aligned} (k^2-1)x_k &=x_1+x_2+\ldots+x_{k-1}\\ &=x_1+\frac13x_1+\frac16x_1+\ldots+\frac2{k(k-1)}x_1\\ &=2\left(1-\frac12\right)x_1 +2\left(\frac12-\frac13\right)x_1 +\ldots+ +2\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)x_1\\ &=2\left(1-\frac1k\right)x_1 =2\cdot\frac{k-1}{k}x_1, \end{aligned}$$

pri čemu smo prvo iskoristili pretpostavku indukcije, a nakon toga jednakost

$$\frac2{m(m+1)} =2\left(\frac1m-\frac1{m+1}\right)$$

za $m=1,2,\ldots,k-1$.

Slijedi

$$x_k =2\cdot\frac{k-1}{k(k^2-1)}x_1 =2\cdot\frac{k-1}{k(k-1)(k+1)}x_1 =\frac{2x_1}{k(k+1)},$$

čime smo pokazali da tvrdnja vrijedi za $n=k$. Time je dokaz indukcijom završen.

Uvrštavanjem $n=2026$ i $x_1=1013$, slijedi

$$x_{2026}=\frac2{2027\cdot2026}\cdot1013=\frac1{2027}.$$