1. Zadatak

Izraz pod korijenom treba biti nenegativan, tj. treba vrijediti

$$x^2-16\geq0,$$

što vrijedi za

$$x\in\langle-\infty,-4]\cup[4,+\infty\rangle.$$

Argument logaritamske funkcije treba biti pozitivan, tj. treba vrijediti

$$x^2+3x-10>0,$$

što vrijedi za

$$x\in\langle-\infty,-5\rangle\cup\langle2,+\infty\rangle.$$

Baza logaritma treba biti pozitivan broj različit od $1$, tj. treba vrijediti $6-x>0$ i $6-x\neq1$, odnosno

$$x\in\langle-\infty,6\rangle\setminus\{5\}.$$

Nazivnik treba biti različit od $0$, pa mora vrijediti

$$\log_{6-x}(x^2+3x-10)\neq0.$$

Dakle, treba vrijediti $x^2+3x-10\neq1$, odnosno

$$x\neq\frac{-3\pm\sqrt{53}}2.$$

Budući da svi uvjeti moraju vrijediti zaključujemo da je prirodna domena funkcije $f$ presjek sva tri navedena skupa iz kojeg trebamo isključiti

$$\frac{-3\pm\sqrt{53}}2.$$

Vrijedi

$$\frac{-3+\sqrt{53}}2\notin\langle-\infty,-4]\cup[4,+\infty\rangle,$$

pa moramo isključiti samo broj

$$\frac{-3-\sqrt{53}}2$$

koji je manji od $-5$.

Konačno, tražena prirodna domena funkcije $f$ je

$$D_f= \left(\langle-\infty,-5\rangle\cup[4,6\rangle\right) \setminus \left\{\frac{-3-\sqrt{53}}2,5\right\}.$$