5. Zadatak

Neka je

$$n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}$$

gdje su $p_1,p_2,\ldots,p_k$ su prosti brojevi, a $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k$ prirodni brojevi.

Svaki djelitelj $d$ broja $n$ je oblika $d=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{\beta_k}$, pri čemu je $0\leq\beta_i\leq\alpha_i$, za sve $i=1,2,\ldots,k$. Stoga je broj djelitelja broja $n$ jednak

$$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1).$$

Kako je $30=2\cdot3\cdot5$, postoje sljedeće mogućnosti:

1. $n$ ima tri prosta faktora s eksponentima $\alpha_1=1$, $\alpha_2=2$ i $\alpha_3=4$.
2. $n$ ima dva prosta faktora s eksponentima $5$ i $4$ ili $9$ i $2$ ili $14$ i $1$.
3. $n$ ima samo jedan prosti faktor s eksponentom $29$.

Najmanji $n$ se postiže kad su prosti faktori najmanji mogući, a veći eksponenti su na manjim faktorima. Prema navedenim mogućnostima imamo:

1. Najmanji takav broj je $2^4\cdot3^2\cdot5^1=720$.
2. Najmanji takvi brojevi su $2^5\cdot3^4=2592$, ili $2^9\cdot3^2=4608$, ili $2^{14}\cdot3^1=49152$.
3. Najmanji takav broj je $2^{29}$.

Traženi najmanji broj s $30$ djelitelja je $720$.