2. Zadatak

Prvo rješenje.

Zapišimo broj $z$ u trigonometrijskom obliku

$$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),\qquad r>0,\quad0\leq\varphi<2\pi.$$

Tada iz uvjeta zadatka imamo sustav jednadžbi

$$\begin{cases} r^4\cos4\varphi-\dfrac12r^4\sin4\varphi=r^4\cos^22\varphi,\\ r^2\sin2\varphi=2\sqrt2. \end{cases}$$

Dijeljenjem s $r^4$ prva jednadžba prelazi u jednadžbu

$$\cos4\varphi-\frac12\sin4\varphi=\cos^22\varphi,$$

čija su rješenja

$$\varphi_1=\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb Z$$

i

$$\varphi_2=\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb Z.$$

Prvo rješenje otpada, jer je

$$\sin2\varphi_1=\sin k\pi=0,$$

što nije u skladu s drugom jednadžbom sustava.

Uvrštavanjem drugog rješenja u drugu jednadžbu sustava slijedi

$$r^2\sin2\varphi=r^2\sin\left(\frac{3\pi}{4}+k\pi\right) =r^2\cdot\frac{\pm\sqrt2}{2}=2\sqrt2.$$

Kako je uvijek $r^2>0$, moguće je samo da $k$ bude paran i tada je

$$r=2.$$

Iz uvjeta

$$0\leq\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}<2\pi,$$

uz $k$ paran slijedi da je $k\in\{0,2\}$, odnosno traženi kompleksni brojevi su

$$z_1=2\left(\cos\frac{3\pi}{8}+i\sin\frac{3\pi}{8}\right)$$

i

$$z_2=2\left(\cos\frac{11\pi}{8}+i\sin\frac{11\pi}{8}\right).$$

Drugo rješenje.

Zapišimo broj $z$ u algebarskom obliku

$$z=x+yi,\qquad x\in\mathbb R,\quad y\in\mathbb R.$$

Tada je

$$z^2=x^2-y^2+2xyi$$

i

$$z^4=x^4-6x^2y^2+y^4+4xy(x^2-y^2)i.$$

Uvjet zadatka se svodi na sustav jednadžbi

$$\begin{cases} x^4-6x^2y^2+y^4-2xy(x^2-y^2)=(x^2-y^2)^2,\\ 2xy=2\sqrt2. \end{cases}$$

Sređivanjem prve jednadžbe redom slijedi

$$x^4-6x^2y^2+y^4-2x^3y+2xy^3=x^4-2x^2y^2+y^4,$$ $$-4x^2y^2-2x^3y+2xy^3=0,$$ $$-2xy(2xy+x^2-y^2)=0.$$

Kako je

$$xy=\sqrt2\neq0,$$

mora vrijediti

$$2xy+x^2-y^2=0.$$

Uvrštavanjem $xy=\sqrt2$, odnosno $y=\frac{\sqrt2}{x}$, dobivamo jednadžbu

$$x^4+2\sqrt2x^2-2=0.$$

Rješenja te bikvadratne jednadžbe su

$$(x^2)_{1,2}=-\sqrt2\pm2.$$

Kako je za $x\in\mathbb R$ uvijek $x^2\geq0$, jedino rješenje je

$$x^2=2-\sqrt2.$$

Konačno slijedi

$$x_{1,2}=\pm\sqrt{2-\sqrt2}$$

i

$$y_{1,2}=\frac{\sqrt2}{\pm\sqrt{2-\sqrt2}}=\pm\sqrt{2+\sqrt2}.$$

Traženi kompleksni brojevi su

$$z_{1,2}=\pm\sqrt{2-\sqrt2}\pm\sqrt{2+\sqrt2}\,i.$$