7. Zadatak

Trokut $ABC$ je jednakokračan. Točka $P$ polovište je osnovice $\overline{BC}$ , a točka $D$ polovište kraka $\overline{AC}$ toga trokuta. Dužine $\overline{BD}$ i $\overline{AP}$ sijeku se u točki $S$ . Okomica iz točke $P$ na dužinu $\overline{BS}$ siječe tu dužinu u točki $N$ i vrijedi $|BN|:|NS|=2:1$ . Ako je $|BD|=27\ \mathrm{cm}$ , koliko iznose duljine stranica trokuta $ABC$ ?

Rješenje

Konstrukcija jednakokračnog trokuta ABC

Budući da je točka $D$ polovište stranice $\overline{AC}$ , dužina $\overline{BD}$ je težišnica trokuta $ABC$ . Kako je $P$ polovište osnovice $\overline{BC}$ , dužina $\overline{AP}$ je također težišnica, pa je njihovo sjecište $S$ težište trokuta $ABC$ .

Težište dijeli težišnicu u omjeru $2:1$ , pa vrijedi

|BS|=\frac23|BD|=\frac23\cdot27=18\ \mathrm{cm}.

Iz uvjeta $|BN|:|NS|=2:1$ slijedi

|BN|=\frac23|BS|=\frac23\cdot18=12\ \mathrm{cm},\qquad |NS|=\frac13|BS|=\frac13\cdot18=6\ \mathrm{cm}.

Kako je trokut $ABC$ jednakokračan s osnovicom $\overline{BC}$ , težišnica $\overline{AP}$ je ujedno i visina na stranicu $\overline{BC}$ . Zato je trokut $BPS$ pravokutan, a dužina $\overline{NP}$ je visina iz vrha $P$ na hipotenuzu $\overline{BS}$ .

Primjenom Euklidovog poučka za visinu dobivamo

|NP|^2=|BN|\cdot|NS|=12\cdot6=72 \quad\Longrightarrow\quad |NP|=\sqrt{72}=6\sqrt2\ \mathrm{cm}.

Primjenom Euklidovog poučka za katete također vrijedi

|BP|^2=|BN|\cdot|BS|=12\cdot18=216 \quad\Longrightarrow\quad |BP|=\sqrt{216}=6\sqrt6\ \mathrm{cm}

|PS|^2=|NS|\cdot|BS|=6\cdot18=108 \quad\Longrightarrow\quad |PS|=\sqrt{108}=6\sqrt3\ \mathrm{cm}.

Budući da je $P$ polovište osnovice $\overline{BC}$ , slijedi

|BC|=2|BP|=2\cdot6\sqrt6=12\sqrt6\ \mathrm{cm}.

Kako je $S$ težište, ono dijeli težišnicu $\overline{AP}$ u omjeru $2:1$ , tj. $|PS|=\frac13|AP|$ , pa je

|AP|=3|PS|=3\cdot6\sqrt3=18\sqrt3\ \mathrm{cm}.

U pravokutnom trokutu $ABP$ vrijedi Pitagorin poučak:

|AB|^2=|AP|^2+|BP|^2=(18\sqrt3)^2+(6\sqrt6)^2=972+216=1188,

pa je

|AB|=\sqrt{1188}=6\sqrt{33}\ \mathrm{cm}.

Zbog jednakokračnosti trokuta $ABC$ vrijedi $|AB|=|AC|=6\sqrt{33}\ \mathrm{cm}$ .

Napomena: Duljine dužina nije nužno djelomično korjenovati.

Umjesto Euklidovog poučka možemo primijeniti Pitagorin poučak na trokute $BPN$ , $PSN$ i $BPS$ :

\begin{aligned} |BN|^2+|NP|^2&=|BP|^2 &&\Longrightarrow&&144+|NP|^2=|BP|^2,\\ |NP|^2+|NS|^2&=|PS|^2 &&\Longrightarrow&&|NP|^2+36=|PS|^2,\\ |BP|^2+|PS|^2&=|BS|^2 &&\Longrightarrow&&|BP|^2+|PS|^2=324. \end{aligned}

Zbrajanjem prve dvije jednadžbe i uvrštavanjem u treću dobivamo

144+|NP|^2+|NP|^2+36=324 \quad\Longrightarrow\quad 2|NP|^2=144 \quad\Longrightarrow\quad |NP|^2=72.

Zatim slijedi

|BP|^2=144+72=216,\qquad |PS|^2=72+36=108.