6. Zadatak

Zadanu jednadžbu možemo zapisati u obliku:

$$x^2+(2-2k)x+(k^2+k-2)=0.$$

Kako bi ova jednadžba imala realna i različita rješenja njena diskriminanta treba biti pozitivna. Vrijedi:

$$D=(2-2k)^2-4(k^2+k-2)=4(k-1)^2-4(k^2+k-2)=-12k+12.$$

Stoga vrijedi

$$D>0\iff -12k+12>0\iff k<1.$$

Neka su $x_1$, $x_2$ rješenja jednadžbe. Po Vieteovim formulama vrijedi

$$x_1+x_2=-(2-2k)=2k-2,\qquad x_1x_2=k^2+k-2.$$

Zbroj kvadrata je

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2k-2)^2-2(k^2+k-2)=2k^2-10k+8.$$

Prema uvjetu zadatka dobivamo nejednadžbu

$$x_1^2+x_2^2<20\iff 2k^2-10k+8<20\iff 2k^2-10k-12<0\iff k^2-5k-6<0,$$

čije rješenje je

$$-1<k<6.$$

Konačno, uz uvjet $k<1$ (realna i različita rješenja) dobivamo rješenje

$$-1<k<1,$$

odnosno $k\in\langle-1,1\rangle$.