5. Zadatak

Prvo rješenje.

Za brojeve $x$ i $y$ mora vrijediti $x>-1$, $y>2$.

Uvođenjem zamjene $a=\sqrt{x+1}$, $b=\sqrt{y-2}$ dobivamo sustav

$$\begin{cases} 2a+\dfrac4b=7,\\[4pt] \dfrac3a-2b=-7. \end{cases}$$

Iz druge jednadžbe slijedi $a=\frac{3}{2b-7}$, pa se uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobiva jednadžba

$$\frac{6}{2b-7}+\frac4b=7,$$

odnosno nakon sređivanja jednadžba

$$2b^2-9b+4=0.$$

Slijede rješenja $b_1=4$, $b_2=\frac12$, odnosno $a_1=3$, $a_2=-\frac12$.

Budući da za svaki realan broj $x$ vrijedi $\sqrt{x+1}\geq0$, ne može vrijediti $\sqrt{x+1}=-\frac12$.

Zato je $\sqrt{x+1}=3$ i $\sqrt{y-2}=4$, pa je rješenje $x=8$, $y=18$.

Drugo rješenje.

Za brojeve $x$ i $y$ mora vrijediti $x>-1$, $y>2$.

Iz prve jednadžbe slijedi

$$\sqrt{y-2}=\frac4{7-2\sqrt{x+1}},$$

pa se uvrštavanjem u drugu jednadžbu dobiva jednadžba

$$\frac3{\sqrt{x+1}}-\frac8{7-2\sqrt{x+1}}=-7.$$

Pojednostavljivanjem dobivamo jednadžbu

$$5\sqrt{x+1}=2x-1,$$

a nakon kvadriranja i sređivanja jednadžbu

$$4x^2-29x-24=0.$$

Rješenja te jednadžbe su $x_1=8$, $x_2=-\frac34$, te dobivamo $y_1=18$, $y_2=\frac{22}{9}$.

Za $x=-\frac34$ nekvadrirana jednadžba $5\sqrt{x+1}=2x-1$ daje $\frac52=-\frac52$, što nije točno. Zato taj kandidat nije rješenje.

Jedino rješenje je $x=8$ i $y=18$.

Napomena: U oba rješenja moguće je odabrati koju nepoznanicu izraziti pomoću druge, te iz koje jednadžbe to učiniti.