5. Zadatak

Neka je $c$ hipotenuza te $a$, $b$ katete pravokutnog trokuta. Pretpostavimo da je duljina katete $a=1000$ cm. Tada vrijedi

$$c^2-b^2=1000^2, \qquad (c-b)(c+b)=10^6.$$

Ako opseg trokuta $O=a+b+c$ ima najveću vrijednost tada $b+c$ mora biti najveći faktor broja $10^6$.

Tada je

$$c+b=10^6,\qquad c-b=1,$$

ali rješenje ovog sustava $c=\frac{10^6+1}{2}$ nije cijeli broj.

Da bi opseg bio najveći mogući, sljedeća mogućnost za $c+b$ i $c-b$ je

$$c+b=5\cdot10^5,\qquad c-b=2.$$

Zbrajanjem ovih jednadžbi dobivamo

$$2c=5\cdot10^5+2,$$

te je $c=250001$ cm, a $b=249999$ cm.