7. Zadatak

Ako sve pobočke zatvaraju s ravninom osnovke isti kut, ortogonalna projekcija vrha piramide je središte upisane kružnice osnovke.

Označimo stranice trokuta s $a=25$ cm, $b=29$ cm, $c=36$ cm. Tada je poluopseg

$$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{25+29+36}{2}=45\ \text{cm}.$$

Površina osnovke je

$$B=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} =\sqrt{45\cdot20\cdot16\cdot9}=30\cdot4\cdot3=360\ \text{cm}^2.$$

Polumjer osnovki upisane kružnice je

$$r=\frac{B}{s}=8\ \text{cm}.$$

Iz osjenčanog trokuta sa slike slijedi

$$\tg75^\circ=\frac{h}{r}.$$

Pa slijedi

$$h=r\tg(30^\circ+45^\circ) =8\cdot\frac{\tg30^\circ+\tg45^\circ}{1-\tg30^\circ\cdot\tg45^\circ} =8(2+\sqrt3).$$

Tada je obujam

$$V=\frac13\cdot360\cdot8(2+\sqrt3) =960(2+\sqrt3)=1920+960\sqrt3\ \text{cm}^3.$$

Slijedi $k=1920$, $l=960$, $m=3$.