6. Zadatak

Postavimo uvjete zadatka:

$$x+m>0,\quad x+m\ne1,$$ $$x-1>0,\quad x-1\ne1,$$ $$x^3-9x+8>0.$$

Zadanu jednadžbu možemo zapisati u obliku

$$\frac{\log(x^3-9x+8)}{\log(x+m)}\cdot\frac{\log(x+m)}{\log(x-1)}=3.$$

Nadalje vrijedi

$$\log(x^3-9x+8)=3\log(x-1),$$

odnosno

$$\log(x^3-9x+8)=\log(x-1)^3.$$

Zato je

$$\begin{aligned} x^3-9x+8&=x^3-3x^2+3x-1,\\ 3x^2-12x+9&=0,\\ x^2-4x+3&=0. \end{aligned}$$

Rješenja posljednje jednadžbe su $x=3$ i $x=1$. Rješenje $x=1$ ne zadovoljava drugi i treći uvjet zadatka pa ne može biti rješenje.

Rješenje $x=3$ zadovoljava drugi i treći uvjet pa da bi to bilo jedino rješenje treba vrijediti

$$3+m>0\quad\text{i}\quad3+m\ne1,$$

odnosno

$$m>-3\quad\text{i}\quad m\ne-2.$$