3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $x$ traženi troznamenkasti broj.

Ako pri dijeljenju broja $x$ s četiri ostatak iznosi dva, tada je $x=4a+2$, $a\in\mathbb Z$.

Ako pri dijeljenju broja $x$ s tri ostatak iznosi jedan, tada je $x=3b+1$, $b\in\mathbb Z$.

Slijedi $4a+2=3b+1$, $a,b\in\mathbb Z$.

Nadalje je

$$b=\frac{4a+1}{3}=\frac{3a+a+1}{3}=a+\frac{a+1}{3}.$$

Budući da su $a$ i $b$ cijeli brojevi zaključujemo da $\frac{a+1}{3}$ treba biti cijeli broj, odnosno

$$\frac{a+1}{3}=c,\qquad c\in\mathbb Z.$$

Nadalje, s obzirom da je $a=3c-1$, slijedi

$$x=4a+2=4(3c-1)+2=12c-2,\qquad c\in\mathbb Z.$$

Kako je $x$ troznamenkasti broj zaključujemo da je $100\leq12c-2\leq999$, odnosno $\frac{17}{2}\leq c\leq\frac{1001}{12}$.

Zaključujemo da je $c\in\{9,\ldots,83\}$, te da ima $83-8=75$ traženih brojeva.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju zaključujemo da je $4a+2=3b+1$, $a,b\in\mathbb Z$, odnosno da vrijedi diofantska jednadžba $4a-3b=-1$.

Uočimo da je jedno partikularno rješenje ove jednadžbe $a=-1$, $b=-1$, pa vrijedi

$$4\cdot(-1)-3\cdot(-1)=-1,$$ $$4a-3b=-1.$$

Oduzimanjem ovih jednadžbi dobivamo

$$4(a+1)-3(b+1)=0,$$

odnosno $a+1=3c$, $b+1=4c$, $c\in\mathbb Z$ pa je $a=3c-1$, $b=4c-1$ te

$$x=12c-2,\qquad c\in\mathbb Z.$$

Sada kao i u prvom rješenju zaključujemo da je $c\in\{9,\ldots,83\}$, te da ima $83-8=75$ traženih brojeva.

Treće rješenje.

Troznamenkasti brojevi koji daju ostatak dva pri djeljenju s četiri su $102$, $106$, $110$, $114$, $118$, $\ldots$, $994$, $998$.

Troznamenkasti brojevi koji daju ostatak jedan pri djeljenju s tri su $100$, $103$, $106$, $109$, $112$, $115$, $118$, $\ldots$, $994$, $997$.

U oba niza nalaze se brojevi $106$, $118$, $\ldots$, $994$.

Zaključujemo da se radi o brojevima oblika $106+12k$, $k\in\{0,1,2,\ldots,74\}$ te da takvih brojeva ima $75$.