4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $\alpha=|\angle BAC|$ i $\beta=|\angle CBA|$. Tada iz $\beta=2\alpha$, slijedi $\alpha=30^\circ$ i $\beta=60^\circ$.

Neka je točka $F$ sjecište pravaca $EC$ i $AD$. Budući da su trokuti $BEC$ i $CDA$ jednakostranični, zaključujemo da je $|\angle CAF|=60^\circ=\beta$, $|\angle FCA|=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ=\alpha$ pa je i $|\angle AFC|=90^\circ$.

Tražena je površina četverokuta $ABED$ jednaka zbroju površina četiriju trokuta:

$$P_{ABED}=P_{ABC}+P_{BEC}+P_{ACD}+P_{CED}.$$

Kako je $\sin\alpha=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{|BC|}{8}$, slijedi $|BC|=4\ \mathrm{cm}$ i $|AC|=4\sqrt3\ \mathrm{cm}$.

Sada je redom:

$$\begin{aligned} P_{ABC}&=\frac{|BC|\cdot|AC|}{2}=\frac{4\cdot4\sqrt3}{2}=8\sqrt3\ \mathrm{cm}^2,\\ P_{BEC}&=\frac{|BC|^2\cdot\sqrt3}{4}=\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3\ \mathrm{cm}^2,\\ P_{ACD}&=\frac{|AC|^2\cdot\sqrt3}{4}=\frac{(4\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=12\sqrt3\ \mathrm{cm}^2,\\ P_{CED}&=\frac{|EC|\cdot|DF|}{2}=\frac{4\cdot2\sqrt3}{2}=4\sqrt3\ \mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Konačno izračunavamo ukupnu površinu:

$$P_{ABED}=8\sqrt3+4\sqrt3+12\sqrt3+4\sqrt3=28\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.$$

Napomena: Učenik je do duljine katete $BC$ mogao doći zaključivanjem da je u pravokutnom trokutu s danim mjerama unutarnjih kutova duljina katete $BC$ jednaka radijusu opisane kružnice, odnosno koristiti se činjenicom da je u takvom trokutu duljina kraće katete jednaka polovici duljine hipotenuze.

Drugo rješenje.

Skica je ista kao i u prvom rješenju.

Kao i u prvom rješenju nalazimo da je $\alpha=30^\circ$ i $\beta=60^\circ$ te da je $|BC|=4\ \mathrm{cm}$ i $|AC|=4\sqrt3\ \mathrm{cm}$.

Neka je točka $F$ sjecište pravaca $EC$ i $AD$. Na isti način kao i u prvom rješenju nalazimo da je $|\angle FCA|=30^\circ$ i $|\angle AFC|=90^\circ$.

Tražena je površina četverokuta $ABED$ jednaka zbroju površina četverokuta $EFAB$ i trokuta $EDF$:

$$P_{ABED}=P_{EFAB}+P_{EDF}.$$

Unutarnji kutovi uz vrhove $A$ i $F$ četverokuta $EFAB$ su pravi zbog čega je taj četverokut trapez.

Uočimo da je $CF$ visina jednakostraničnog trokuta kojem je osnovica duljine $4\sqrt3\ \mathrm{cm}$, pa je $|CF|=6\ \mathrm{cm}$, a $|EF|=10\ \mathrm{cm}$.

Sada je redom:

$$P_{EFAB}=\frac12\cdot(|EF|+|AB|)\cdot|AF|=\frac12\cdot(10+8)\cdot2\sqrt3=18\sqrt3\ \mathrm{cm}^2,$$ $$P_{EDF}=\frac12\cdot|DF|\cdot|EF|=\frac12\cdot2\sqrt3\cdot10=10\sqrt3.$$

Konačno izračunavamo ukupnu površinu:

$$P_{ABED}=18\sqrt3+10\sqrt3=28\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.$$