5. Zadatak

Na školskome je natjecanju iz matematike u prvome razredu sudjelovalo $7$ učenika među kojima su Ana, Dino, Jakov, Katja i Toni. Budući da je ljestvica poretka objavljena sa zaporkama, njihovi se prijatelji iz razreda zabavljaju pogađanjem koja su mjesta ostvarili Ana, Dino, Jakov, Katja i Toni. Pri tome su im poznati sljedeći podatci:

nema učenika s istim brojem bodova
Tonijev je rang paran broj
Dino je ispred Ane.

Na koliko načina prijatelji mogu dodijeliti rang Ani, Dinu, Jakovu, Katji i Toniju?

Prvo rješenje.

Ako svakom od pet navedenih učenika dodijelimo njegov rang, dobit ćemo peteroznamenkasti broj. Anin rang je prva znamenka, Dinov druga, Jakovljev treća, Katjin četvrta i Tonijev zadnja, peta znamenka.

Stoga traženih rasporeda ima i koliko različitih peteroznamenkastih brojeva sastavljenih od brojeva $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ i $7$ pri čemu se znamenke ne mogu ponavljati, broj je paran i prva znamenka mora biti veća od druge.

Ako je Tonijev rang paran broj, zadnja znamenka može biti $2$ , $4$ , $6$ . Dakle, zadnju znamenku biramo na $3$ načina.

Neka je zadnja znamenka $2$ . Preostale znamenke biramo iz skupa $\{1,3,4,5,6,7\}$ .

Budući da prva znamenka mora biti veća od druge:

ako je druga znamenka $1$ , prvu biramo iz skupa $\{3,4,5,6,7\}$ ( $5$ izbora)
ako je druga znamenka $3$ , prvu biramo iz skupa $\{4,5,6,7\}$ ( $4$ izbora)
ako je druga znamenka $4$ , prvu biramo iz skupa $\{5,6,7\}$ ( $3$ izbora)
ako je druga znamenka $5$ , prvu biramo iz skupa $\{6,7\}$ ( $2$ izbora)
ako je druga znamenka $6$ , prvu biramo iz skupa $\{7\}$ ( $1$ izbor).

Ukupan broj mogućih načina da izaberemo prve dvije znamenke je $5+4+3+2+1=15$ .

Nakon odabira prve dvije i zadnje znamenke treću i četvrtu znamenku biramo od preostala četiri broja. To možemo učiniti na $4\cdot3=12$ načina.

Za svaki od $3$ odabira zadnje znamenke postoji $15$ odabira prve i druge, što je ukupno $3\cdot15$ odabira za te tri znamenke.

Za svaki od tih $3\cdot15$ odabira, postoji po $12$ odabira treće i četvrte znamenke, što daje ukupno $3\cdot15\cdot12=540$ različitih peteroznamenkastih brojeva koji zadovoljavaju dane uvjete.

Stoga je $540$ načina da se danim učenicima dodijeli rang od $1$ do $7$ .

Drugo rješenje.

Kao i u prethodnom rješenju svakom ćemo od pet navedenih učenika pridružiti njegov rang, odnosno jedan od brojeva iz skupa $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ .

Najprije Toniju pridružujemo jedan od brojeva iz skupa $\{2,4,6\}$ što možemo napraviti na $3$ načina.

Preostala $4$ natjecatelja mogu dobiti bilo koji od preostalih šest brojeva što možemo napraviti na $6\cdot5\cdot4\cdot3=360$ načina.

Opisano pridruživanje možemo napraviti na $3\cdot360=1080$ načina.

U pola od tih načina će Ana imati poziciju veću od Dina, a u pola će biti obrnuto što nam nosi ukupno $1080:2=540$ načina koji odgovaraju uvjetu zadatka.

Treće rješenje.

Razlikujemo sljedeće slučajeve:

Dino je prvi.

Tada za Tonija možemo odabrati jednu od $3$ parne pozicije, dok za Anu preostaje $5$ pozicija što je $3\cdot5=15$ razmještaja.
Dino je drugi.

Tada za Tonija možemo odabrati jednu od preostale $2$ parne pozicije, dok Anu možemo smjestiti na $4$ pozicije. Prema tome u ovom slučaju za njih imamo $2\cdot4=8$ razmještaja.
Dino je treći.

Ako je Toni na drugoj poziciji tada Anu možemo smjestiti na $4$ pozicije, a ako Toni na četvrtoj ili šestoj poziciji Anu možemo smjestiti na $3$ pozicije. To je ukupno $4+2\cdot3=10$ razmještaja.
Dino je četvrti.

Ako je Toni na drugoj poziciji, za Anu na raspolaganju imamo $3$ pozicije. Ako je Toni na šestoj poziciji, za Anu imamo $2$ pozicije. Prema tome u ovom slučaju imamo ukupno $5$ razmještaja.
Dino je peti.

Ako je Toni na $6$ poziciji, Ana mora biti na sedmoj. Ako je Toni na drugoj ili četvrtoj poziciji, Ana mora ići na šestu ili sedmu poziciju. Prema tome izbor pozicije za Tonija i Anu nosi $1+2\cdot2=5$ načina.
Dino je šesti.

Tada Ana mora biti na sedmoj poziciji, a Toni može biti na drugoj ili četvrtoj poziciji pa za njega imamo $2$ načina.

Za Dina, Anu i Tonija prema navedenom imamo ukupno $15+8+10+5+5+2=45$ razmještaja.

Preostala $4$ natjecatelja možemo razmjestiti na $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ načina.

Međutim kako učenike koji nisu među navedenih $5$ ne razlikujemo, taj broj moramo podijeliti s $2$ . Prema tome, za te natjecatelje imamo ukupno $24:2=12$ načina.

Ukupno imamo $45\cdot12=540$ razmještaja.

Četvrto rješenje.

Kao i u prethodnom rješenju rezultate natjecanja shvaćamo kao niz od $7$ znakova, pri čemu pozicija znaka označava rang natjecatelja.

Od tri parna mjesta odaberimo najprije mjesto za Tonija što možemo učiniti na $3$ načina.

Od preostalih $6$ mjesta sada odabiremo $2$ mjesta za Anu i Dina. Prvo mjesto odabiremo na $6$ načina, a drugo onda na $5$ načina što ukupno daje $6\cdot5=30$ načina. Međutim, kod Ane i Dina su pozicije određene, tj. Dino mora biti na poziciji s manjim, a Ana na poziciji s većim brojem što ukupno daje $30:2=15$ načina.

Preostaje još $4$ mjesta na koja proizvoljno možemo rasporediti preostale $4$ osobe što možemo učiniti na $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ načina.

Opisani proces daje ukupno $3\cdot15\cdot24=1080$ načina.

Kako poredak dva natjecatelja koja nisu među odabranima nije bitan, rang odabranih pet natjecatelja možemo dodijeliti na $1080:2=540$ načina.