2. Zadatak

Prvo rješenje.

Riješimo najprije prvu jednadžbu. Faktorizacijom svih nazivnika u jednadžbi dobivamo:

$$\frac{x-1}{x(x+2)}-\frac{x+3}{(x-2)(x+2)}=\frac{4x^2+2}{x(x-2)(x+2)}+\frac{x}{x(x-2)}.$$

Jednadžba ima smisla ako $x\notin\{-2,0,2\}$.

Množenjem sa zajedničkim nazivnikom slijedi:

$$(x-2)(x-1)-x(x+3)=4x^2+2+x(x+2),$$

odnosno

$$\begin{aligned} 5x^2+8x&=0,\\ x(5x+8)&=0. \end{aligned}$$

Samo je $x=-\frac85$ rješenje zadane jednadžbe.

Uvrštavanjem tog rješenja u drugu jednadžbu dobivamo:

$$\left(-\frac85+p\right)^2+\left(-\frac85-p\right)^2 =2\left(-\frac85-\frac12p\right)\left(-\frac85+\frac12p\right)+\frac58p,$$ $$\frac{64}{25}-\frac{16}{5}p+p^2+\frac{64}{25}+\frac{16}{5}p+p^2 =\frac{128}{25}-\frac12p^2+\frac58p,$$ $$p\left(\frac52p-\frac58\right)=0.$$

Ako je $p=0$, druga jednadžba prelazi u jednadžbu

$$(x+0)^2+(x-0)^2=2(x-0.5\cdot0)(x+0.5\cdot0)-\frac1x\cdot0,$$

odnosno jednadžbu $2x^2=2x^2$ čija su rješenja svi realni brojevi osim nule, pa jednadžbe nemaju isti skup rješenja.

Ako je $p=\frac14$ i $x\neq0$, druga jednadžba poprima oblik

$$\left(x+\frac14\right)^2+\left(x-\frac14\right)^2 =2\left(x-0.5\cdot\frac14\right)\left(x+0.5\cdot\frac14\right)-\frac1x\cdot\frac14,$$

odnosno $2x^2+\frac18=2x^2-\frac1{32}-\frac1{4x}$ koja ima jedinstveno rješenje $x=-\frac85$.

Dakle, jedino za $p=\frac14$ zadane jednadžbe imaju isti skup rješenja.

Drugo rješenje.

Druga jednadžba ima smisla ako je $x\neq0$. Nakon kvadriranja, množenja i sređivanja druga jednadžba poprima oblik:

$$\frac52p^2+\frac px=0,$$ $$p\left(\frac52p+\frac1x\right)=0.$$

Ako je $p=0$ skup rješenja druge jednadžbe je $\mathbb R\setminus\{0\}$.

Ako je $p\neq0$ tada je rješenje druge jednadžbe oblika $x=-\frac2{5p}$.

Analogno kao i u prvom rješenju dobivamo da je jedino rješenje prve jednadžbe $x=-\frac85$.

Budući da prva jednadžba ima samo jedno rješenje, $p=0$ ne može biti vrijednost traženog parametra.

Jedina moguća vrijednost parametra $p$ dobiva se izjednačavanjem rješenja jednadžbi:

$$-\frac2{5p}=-\frac85,$$ $$p=\frac14.$$