4. Zadatak

Nacrtajmo sliku:

Iz sličnosti trokuta sa slike izlazi: $$\begin{aligned} r:(v-r)&=R:\sqrt{v^2+R^2}\\ \frac{r^2}{(v-r)^2}&=\frac{R^2}{R^2+v^2} \end{aligned}$$ Odavde trebamo izračunati visinu $v$: $$\begin{aligned} r^2(R^2+v^2)&=R^2(v^2-2vr+r^2)\\ R^2r^2+v^2r^2&=R^2v^2-2vrR^2+R^2r^2\\ v^2(r^2-R^2)+2vrR^2&=0\\ v(v(r^2-R^2)+2rR^2)&=0\\ v\ne0&\Longrightarrow v=\frac{2rR^2}{R^2-r^2} \end{aligned}$$ Sad dobivamo $$V=\frac{R^2\pi v}{3}=\frac{2\pi}3\cdot\frac{rR^4}{R^2-r^2}.$$