2. Zadatak

Prvo rješenje: Ako vrijedi $\alpha+\beta=\frac\pi2$, tj. ako je trokut pravokutan, onda je, iz jednakosti površina, $ab=cv$, pa dobivamo $$\frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}=\frac{c^2}{c^2v^2}=\frac1{v^2}.$$ Pretpostavimo sad da trokut nije pravokutan. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je $\alpha>\beta$, t.j. da vrijedi $\alpha=\beta+\frac\pi2$. Nacrtajmo sliku:

U pravokutnom trokutu $ACD$ za kut $\delta$ vrijedi $\delta=\pi-\alpha=\frac\pi2-\beta$ pa je kut $\angle ACD=\beta$.

Iz pravokutnih trokuta $ACD$ i $BCD$ sada čitamo: $$\cos\beta=\frac vb,\qquad\sin\beta=\frac va$$ pa je $$\frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac{\sin^2\beta}{v^2}+\frac{\cos^2\beta}{v^2}=\frac{\sin^2\beta+\cos^2\beta}{v^2}=\frac1{v^2}.$$

Drugo rješenje. Vrijedi $$\frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{a^2\sin^2\gamma+b^2\sin^2\gamma}{a^2b^2\sin^2\gamma}.$$ Sad koristimo poučak o sinusima i formule za površinu trokuta: $$\begin{aligned} \frac ac=\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}&\Longrightarrow a\sin\gamma=c\sin\alpha,\\ \frac bc=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}&\Longrightarrow b\sin\gamma=c\sin\beta,\\ a^2b^2\sin^2\gamma&=4P=c^2v^2. \end{aligned}$$ Dobivamo: $$\frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac{c^2\sin^2\alpha+c^2\sin^2\beta}{c^2v^2}=\frac{\sin^2\alpha+\sin^2\beta}{v^2}.$$ Ako je trokut pravokutan, onda je $\sin\beta=\sin(\frac\pi2-\alpha)=\cos\alpha$. Ako u trokutu vrijedi $\alpha-\beta=\frac\pi2$, onda je $\sin\beta=\sin(\alpha-\frac\pi2)=-\cos\alpha$. Ako vrijedi pak $\beta-\alpha=\frac\pi2$, onda je $\sin\beta=\sin(\alpha+\frac\pi2)=\cos\alpha$. U svim je tim situacijama $$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ i tvrdnja je dokazana.