5. Zadatak

Prvo rješenje.

S obzirom da $n$ pri dijeljenju s 5 daje ostatak 2, vrijedi:

$$\begin{aligned} n&\text{ završava znamenkom 2 ili 7;}\\ n^2&\text{ završava znamenkom 4 ili 9;}\\ n^3&\text{ završava znamenkom 8 ili 3;}\\ n^4&\text{ završava znamenkom 6 ili 1;}\\ n^7=n^3\cdot n^4&\text{ završava znamenkom 8 ili 3.} \end{aligned}$$

Iz prethodnog retka slijedi da $n^7$ pri dijeljenju s 5 daje ostatak 3.

Drugo rješenje.

Vrijedi $n=5k+2$, $k\in\mathbb{N}$, pa je

$$n^7=(5k+2)^7 =\sum_{i=0}^{7}\binom{7}{i}(5k)^{7-i}\cdot2^i.$$

Za $i\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$ odgovarajući članovi u raspisu binoma sadrže faktor 5 pa su djeljivi s 5.

Zadnji član u razvoju binoma (za $i=7$) je jednak $2^7=128$.

Kako je $128=125+3$, slijedi da se $n^7$ može zapisati kao $5m+125+3=5(m+25)+3$, pa je ostatak od $n^7$ pri dijeljenju s 5 jednak 3.