3. Zadatak

Vrijedi:

$$\left(\sqrt2+\sqrt[4]{2}\right)^{2021} =\sum_{k=0}^{2021}\binom{2021}{k}(\sqrt2)^{2021-k}\cdot(\sqrt[4]{2})^k,$$

odnosno opći član razvoja binoma je jednak

$$\binom{2021}{k}(\sqrt2)^{2021-k}\cdot(\sqrt[4]{2})^k =\binom{2021}{k}\cdot 2^{\frac{4042-k}{4}}.$$

Navedeni opći član će biti racionalan za

$$\frac{4042-k}{4}\in\mathbb{N},$$

odnosno ako je $4042-k$ djeljivo s 4, $k\in\{0,1,\ldots,2021\}$.

S obzirom da 4042 daje ostatak 2 pri dijeljenju s 4, slijedi da i $k$ treba davati ostatak 2 pri dijeljenju s 4, pa je

$$k\in\{2,6,10,\ldots,2018\}.$$

Kako je $2=4\cdot0+2$, $6=4\cdot1+2$, $\ldots$, $2018=4\cdot504+2$, traženih racionalnih članova ima 505.