6. Zadatak

Označimo s $C$ i $D$ tjemena elipse na maloj osi, a s $P$, $Q$, $R$ i $S$ točke presjeka elipse i hiperbole.

Za elipsu

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

je

$$e=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5,$$

pa su žarišta elipse u točkama $F_1(\sqrt5,0)$ i $F_2(-\sqrt5,0)$.

Neka je jednadžba hiperbole

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Kako su joj tjemena u točkama $F_1$ i $F_2$ slijedi $a=\sqrt5$, a s obzirom da su joj žarišta u točkama $(-3,0)$ i $(3,0)$ slijedi

$$b^2=3^2-(\sqrt5)^2=4.$$

Jednadžba hiperbole je

$$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1.$$

Za točke presjeka $(x,y)$ elipse i hiperbole vrijedi

$$x=\pm\frac{3}{7}\sqrt{35}, \qquad y=\pm\frac{2}{7}\sqrt{14}.$$

Ako s $O$ označimo ishodište koordinatnog sustava, a s $M$ sjecište dužine $\overline{PS}$ s osi $x$, vrijedi da je površina šesterokuta $PCQRDS$ jednaka četverostrukoj površini trapeza $OMPC$.

Površina trapeza $OMPC$ je jednaka

$$P_1=\frac{|\overline{PM}|+|\overline{CO}|}{2}\cdot|\overline{OM}| =\frac{\frac{2}{7}\sqrt{14}+2}{2}\cdot\frac{3}{7}\sqrt{35}.$$

Sada je tražena površina šesterokuta jednaka

$$4P_1=\frac{12}{7}(\sqrt{10}+\sqrt{35}).$$