1. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako u brojniku zadanog izraza uočimo razliku kvadrata ili pomnožimo zagrade, a u nazivniku izlučimo $\cos x$ dobivamo redom:

$$\begin{aligned} \frac{(\cos x-1+\sin x)(\cos x+1-\sin x)}{\cos x-\cos x\sin x} &=\frac{[\cos x-(1-\sin x)][\cos x+(1-\sin x)]}{\cos x(1-\sin x)}\\ &=\frac{\cos^2x-(1-\sin x)^2}{\cos x(1-\sin x)}\\ &=\frac{\cos^2x-1+2\sin x-\sin^2x}{\cos x(1-\sin x)}. \end{aligned}$$

Nakon primjene osnovnog trigonometrijskog identiteta $\cos^2x+\sin^2x=1$ slijedi

$$\frac{\cos^2x-1+2\sin x-\sin^2x}{\cos x(1-\sin x)} =\frac{-\sin^2x+2\sin x-\sin^2x}{\cos x(1-\sin x)} =\frac{2\sin x-2\sin^2x}{\cos x(1-\sin x)}.$$

Nakon toga u brojniku izlučimo $2\sin x$, skratimo razlomak i primijenimo zadanu jednakost.

$$\frac{2\sin x-2\sin^2x}{\cos x(1-\sin x)} =\frac{2\sin x(1-\sin x)}{\cos x(1-\sin x)} =\frac{2\sin x}{\cos x},$$ $$2\operatorname{tg}x=\frac2{\operatorname{ctg}x}=4.$$

Drugo rješenje.

Kako je $\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac12$ slijedi $\sin x=2\cos x$.

Uvrstimo li $\sin x=2\cos x$ u dani izraz slijedi

$$\begin{aligned} \frac{(\cos x-1+\sin x)(\cos x+1-\sin x)}{\cos x-\cos x\sin x} &=\frac{(\cos x-1+2\cos x)(\cos x+1-2\cos x)}{\cos x-\cos x\cdot2\cos x}\\ &=\frac{(3\cos x-1)(1-\cos x)}{\cos x-2\cos^2x}\\ &=\frac{4\cos x-3\cos^2x-1}{\cos x-2\cos^2x}. \end{aligned}$$

Nakon primjene osnovnog trigonometrijskog identiteta $\cos^2x+\sin^2x=1$ imamo

$$\frac{4\cos x-3\cos^2x-1}{\cos x-2\cos^2x} =\frac{4\cos x-3\cos^2x-\cos^2x-\sin^2x}{\cos x-2\cos^2x} =\frac{4\cos x-4\cos^2x-\sin^2x}{\cos x-2\cos^2x}.$$

Nadalje uvrstimo li $\sin^2x=4\cos^2x$ dobivamo

$$\frac{4\cos x-4\cos^2x-\sin^2x}{\cos x-2\cos^2x} =\frac{4\cos x-4\cos^2x-4\cos^2x}{\cos x-2\cos^2x} =\frac{4\cos x-8\cos^2x}{\cos x-2\cos^2x}.$$

Izlučimo zajedničke faktore u brojniku i nazivniku i skratimo razlomak:

$$\frac{4\cos x-8\cos^2x}{\cos x-2\cos^2x} =\frac{4\cos x(1-2\cos x)}{\cos x(1-2\cos x)}=4.$$

Treće rješenje.

Iz činjenice da je $\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac12$ slijedi redom

$$\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=\frac14,$$ $$\frac{1-\sin^2x}{\sin^2x}=\frac14,$$ $$4-4\sin^2x=\sin^2x,$$ $$\sin^2x=\frac45,$$ $$\sin x=\pm\frac{2\sqrt5}{5},$$ $$\cos x=\frac12\sin x=\pm\frac{\sqrt5}{5}.$$

Uvrstimo li dobivene vrijednosti s pozitivnim predznakom u dani izraz slijedi:

$$\begin{aligned} \frac{(\cos x-1+\sin x)(\cos x+1-\sin x)}{\cos x-\cos x\sin x} &=\frac{\left(\frac{\sqrt5}{5}-1+\frac{2\sqrt5}{5}\right) \left(\frac{\sqrt5}{5}+1-\frac{2\sqrt5}{5}\right)} {\frac{\sqrt5}{5}-\frac{\sqrt5}{5}\cdot\frac{2\sqrt5}{5}}\\ &=4. \end{aligned}$$

Uvrstimo li dobivene vrijednosti s negativnim predznakom u dani izraz slijedi:

$$\begin{aligned} \frac{(\cos x-1+\sin x)(\cos x+1-\sin x)}{\cos x-\cos x\sin x} &=\frac{\left(-\frac{\sqrt5}{5}-1-\frac{2\sqrt5}{5}\right) \left(-\frac{\sqrt5}{5}+1+\frac{2\sqrt5}{5}\right)} {-\frac{\sqrt5}{5}+\frac{\sqrt5}{5}\cdot\left(-\frac{2\sqrt5}{5}\right)}\\ &=4. \end{aligned}$$