6. Zadatak

Uvjeti na rješenja su $x>0$, $y>0$.

Dani sustav ekvivalentan je sljedećem nizu sustava:

$$\begin{cases} y^{5x^2-51x+10}=1,\\ \log x^2+\log y^2=\log225 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} y^{5x^2-51x+10}=1,\\ \log(xy)^2=\log15^2 \end{cases}$$ $$\Longrightarrow \begin{cases} y^{5x^2-51x+10}=1,\\ (xy)^2=15^2 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} y^{5x^2-51x+10}=1,\\ xy=15. \end{cases}$$

Iz jednadžbe $y^{5x^2-51x+10}=1$ slijedi $y=1$ ili $5x^2-51x+10=0$.

Ako je $y=1$ onda je $x=15$ te je jedno rješenje uređeni par $(15,1)$.

Ako je $5x^2-51x+10=0$, onda je $x=10$ ili $x=\frac15$.

Iz $x=10$ slijedi da je $y=\frac32$, a iz $x=\frac15$ slijedi da je $y=75$.

Dakle, rješenja danog sustava su uređeni parovi

$$(15,1),\quad\left(10,\frac32\right)\quad\text{i}\quad\left(\frac15,75\right).$$