7. Zadatak

a) Odredimo prvo konstante $a$ i $b$ u funkciji $f(t)=2^{t+a}+b$.

Da su učenici u studenom izostali 128 sati zapisujemo:

$$f(3)-f(2)=128.$$

Tada je prema zadanome pravilu redom:

$$2^{3+a}+b-\left(2^{2+a}+b\right)=128,$$ $$8\cdot2^a-4\cdot2^a=128,$$ $$4\cdot2^a=128,$$ $$2^a=32,$$ $$a=5.$$

Budući da je na početku školske godine $0$ izostanaka, vrijedi $f(0)=2^a+b=0$ pa je $b=-2^a$, odnosno $b=-32$.

Tada je $f(t)=2^{t+5}-32$. Izračunajmo sad traženi broj mjeseci. Redom vrijedi:

$$2^{t+5}-32=4064,$$ $$2^{t+5}=4096,$$ $$2^{t+5}=2^{12},$$ $$t+5=12,$$ $$t=7.$$

Nakon 7 mjeseci će imati 4064 sati izostanaka.

b) U prosincu je izostanaka

$$f(4)-f(3)=2^{4+5}-32-\left(2^{3+5}-32\right)=2^9-2^8=2^8(2-1)=256.$$

Omjer opravdanih i neopravdanih izostanaka je $O:N=29:3$.

$$O=29k,\qquad N=3k,$$ $$29k+3k=256,$$ $$32k=256,$$ $$k=8.$$

Neopravdanih izostanaka je 24.