1. Zadatak

Korištenjem formula za sinus dvostrukog argumenta te sinus zbroja izraz $\sin x\cos x+\frac{\sqrt3}{2}\cos2x$ možemo zapisati u sljedećem obliku:

$$\begin{aligned} \sin x\cos x+\frac{\sqrt3}{2}\cos2x &=\frac22\sin x\cos x+\frac{\sqrt3}{2}\cos2x\\ &=\frac12\sin2x+\frac{\sqrt3}{2}\cos2x\\ &=\cos\frac\pi3\sin2x+\sin\frac\pi3\cos2x\\ &=\sin\left(2x+\frac\pi3\right). \end{aligned}$$

Dakle, rješavamo nejednadžbu $\sin\left(2x+\frac\pi3\right)\leq-\frac12$ na intervalu $[-\pi,\pi]$.

Uz pomoć trigonometrijske kružnice zaključujemo

$$\frac{7\pi}{6}+2k\pi\leq2x+\frac\pi3\leq\frac{11\pi}{6}+2k\pi,$$

odakle dobivamo

$$\frac{5\pi}{12}+k\pi\leq x\leq\frac{3\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Uvrstimo li $k=-1$ i $k=0$ dobivamo

$$x\in\left[-\frac{7\pi}{12},-\frac\pi4\right]\cup \left[\frac{5\pi}{12},\frac{3\pi}{4}\right]$$

što je rješenje dane nejednadžbe na intervalu $[-\pi,\pi]$.