5. Zadatak

Prvo rješenje.

Broj različitih odabira četiri člana u ekipi jednak je $\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495$. Umnožak $12\cdot11\cdot10\cdot9$ smo podijelili s brojem načina na koji se $4$ člana mogu poredati jer poredak članova u ekipi nije bitan.

Odredimo sada broj načina odabira ekipe u kojoj će biti predstavnici sva tri razreda i oba spola.

Najprije biramo razred koji će imati dva predstavnika. To možemo učiniti na $3$ načina. Neka, primjerice, razred A ima dva predstavnika. Razlikujemo dva slučaja ovisno o tome jesu li predstavnici iz razreda A istog ili različitog spola.

Ako su predstavnici iz razreda A različitog spola, tada par (mladić i djevojka) iz razreda A možemo odabrati na $2\cdot2=4$ načina. Iz preostala dva razreda biramo po jednog učenika, što možemo učiniti na $4\cdot4=16$ načina. Stoga je ukupan broj odabira u ovom slučaju $3\cdot4\cdot16=192$.

Ako su predstavnici iz razreda A istog spola, primjerice dva mladića, tada za predstavnike iz razreda B i C imamo sljedeće mogućnosti:

• djevojka iz B i mladić iz C
• mladić iz B i djevojka iz C
• djevojka iz B i djevojka iz C

Za svaku od tih mogućnosti broj odabira jednak je $2\cdot2=4$.

Stoga je ukupan broj odabira u ovom slučaju jednak $3\cdot2\cdot12=72$.

Dakle, ukupan broj odabira jednak je $192+72=264$.

Stoga je tražena vjerojatnost $\frac{264}{495}=\frac8{15}$.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju, ukupan broj različitih odabira četiri člana u ekipi jednak je $\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495$.

U ekipi mogu biti $3$ mladića i $1$ djevojka, $3$ djevojke i $1$ mladić te $2$ mladića i dvije djevojke.

Budući da je broj načina na koji možemo odabrati $3$ mladića i $1$ djevojku jednak broju načina na koji možemo odabrati $3$ djevojke i $1$ mladića, razmotrit ćemo samo prvi slučaj.

Odredimo najprije broj načina na koji možemo odabrati $3$ mladića, po jednog iz svakog razreda i $1$ djevojku. Razred iz kojega je djevojka možemo odabrati na $3$ načina. Po jednog mladića iz svakog razreda možemo odabrati na $2$ načina, kao i djevojku bez obzira iz kojeg je razreda. Stoga je ukupan broj odabira $3$ mladića, po jednog iz svakog razreda i jedne djevojke jednak $3\cdot8\cdot2=48$.

Odredimo zatim broj načina na koji možemo odabrati $3$ mladića i $1$ djevojku tako da su dva mladića iz istog razreda, a po jedan mladić i jedna djevojka svaki iz jednog od preostalih dvaju razreda.

Razred iz kojega su dva mladića biramo na $3$ načina a ta dva mladića na $1$ način. U preostala dva razreda biramo jednog mladića i jednu djevojku. Svakog od njih možemo odabrati na $2$ načina, a pritom postoje i $2$ mogućnosti raspodjele (mladić iz B, djevojka iz C ili obratno).

Stoga je ukupan broj odabira $2$ mladića iz istog razreda te jednog mladića i jedne djevojke iz svakog od preostalih razreda jednak $3\cdot1\cdot(2\cdot2)\cdot2=24$.

Preostalo je još odrediti broj načina na koji možemo odabrati $2$ mladića i $2$ djevojke.

Ako su $2$ mladića iz istog razreda, a $2$ djevojke iz različitih (preostalih) razreda, ukupan je broj odabira $3\cdot2\cdot2=12$ jer razred iz kojeg su $2$ mladića biramo na $3$ načina, a svaku djevojku na $2$ načina.

Isto vrijedi i ako su dvije djevojke iz istog razreda, a $2$ mladića iz različitih (preostalih) razreda, tj. ukupan broj odabira i u tom slučaju jednak je $3\cdot2\cdot2=12$.

Ako su $1$ mladić i $1$ djevojka iz istog razreda, te $1$ djevojka i $1$ mladić svaki iz jednog od preostalih dvaju razreda, broj odabira je $3\cdot2^4\cdot2=96$, jer razred iz kojeg su mladić i djevojka možemo odabrati na $3$ načina, svakog od njih možemo birati na $2$ načina, a $1$ djevojku i jednog mladića svakog iz jednog od preostalih dvaju razreda možemo birati na $2\cdot2\cdot2$ načina (jer postoje dvije mogućnosti raspodjele, mladić iz B, djevojka iz C ili obratno).

Konačno, ukupan je broj odabira članova ekipe s predstavnicima svih razreda i oba spola jednak $2\cdot(48+24)+(24+96)=264$, a tražena vjerojatnost $\frac{264}{495}=\frac8{15}$.