3. Zadatak

Neka je $\log_2(n^2+295)=m$, $m\in\mathbb N$.

Tada vrijedi $n^2+295=2^m$. Budući da je zadnja znamenka kvadrata prirodnog broja jedna od znamenki $0,1,4,5,6$ ili $9$, slijedi da $n^2+295$ završava znamenkom $5,6,9,0,1$ ili $4$, a kako je $n^2+295$ paran broj, zaključujemo da mu je zadnja znamenka $4$ ili $6$.

Nadalje, kako potencije $2^k$, $k\in\mathbb N$ imaju ciklički raspored zadnjih znamenki $2,4,8,6$, a broj $2^m$ završava znamenkom $4$ ili $6$, zaključujemo da je $m$ paran prirodan broj.

Stoga neka je $m=2k$, $k\in\mathbb N$.

Uvrštavanjem u početnu jednadžbu dobivamo sljedeći niz jednakosti:

$$n^2+295=2^{2k}$$ $$(2^k)^2-n^2=295$$ $$(2^k-n)(2^k+n)=295.$$

Kako vrijedi $2^k-n<2^k+n$, te kako je $295=5\cdot59$ slijede dva moguća slučaja.

$$\begin{array}{cc} \text{1. slučaj} & \text{2. slučaj}\\[2mm] 2^k-n=1,\qquad & \qquad 2^k-n=5,\\ 2^k+n=295.\qquad & \qquad 2^k+n=59. \end{array}$$

U prvom slučaju zbrajanjem jednadžbi dobivamo jednadžbu $2^{k+1}=296$ koja nema rješenja u skupu prirodnih brojeva.

U drugom slučaju zbrajanjem jednadžbi dobivamo $2^{k+1}=64$, odakle slijedi $k=5$ i $n=27$.

Dakle, jedini prirodni broj $n$ za koji je $\log_2(n^2+295)$ također prirodan broj je broj $27$.