5. Zadatak

Neka je $ABCDEFGH$ zadani osmerokut i točka $S$ njegovo središte.

U karakterističnom trokutu $ABS$ toga mnogokuta mjera kuta pri vrhu $S$ iznosi

$$\frac{360^\circ}{8}=45^\circ,$$

pa je kut koji zatvaraju dužine $\overline{AS}$ i $\overline{CS}$ pravi.

Pri rotaciji osmerokuta za $90^\circ$ oko točke $S$ u pozitivnom smjeru vrhovi mnogokuta preslikavaju se na sljedeći način:

$$A\mapsto C\mapsto E\mapsto G\mapsto A, \qquad B\mapsto D\mapsto F\mapsto H\mapsto B.$$

Stranice osmerokuta preslikavaju se na sljedeći način:

• $\overline{AB}\mapsto\overline{CD}\mapsto\overline{EF}\mapsto\overline{GH}\mapsto\overline{AB}$ i te stranice trebaju biti obojane istom bojom,
• $\overline{BC}\mapsto\overline{DE}\mapsto\overline{FG}\mapsto\overline{HA}\mapsto\overline{BC}$ i te stranice trebaju biti obojane istom bojom.

Nadalje, dijagonale se preslikavaju na sljedeći način:

• $\overline{AC}\mapsto\overline{CE}\mapsto\overline{EG}\mapsto\overline{GA}\mapsto\overline{AC}$ i te dužine trebaju biti obojane istom bojom,
• $\overline{AD}\mapsto\overline{CF}\mapsto\overline{EH}\mapsto\overline{GB}\mapsto\overline{AD}$ i te dužine trebaju biti obojane istom bojom,
• $\overline{AE}\mapsto\overline{GC}\mapsto\overline{AE}$ i te dužine trebaju biti obojane istom bojom,
• $\overline{AF}\mapsto\overline{CH}\mapsto\overline{BE}\mapsto\overline{GD}\mapsto\overline{AF}$ i te dužine trebaju biti obojane istom bojom,
• $\overline{BD}\mapsto\overline{DF}\mapsto\overline{FH}\mapsto\overline{BH}\mapsto\overline{BD}$ i te dužine trebaju biti obojane istom bojom,
• $\overline{BF}\mapsto\overline{DH}\mapsto\overline{BF}$ i te dužine trebaju biti obojane istom bojom.

Za svaku od navedenih skupina dužina možemo odabrati jednu od dvije boje, crvenu ili plavu. Zato je ukupan broj odabira za stranice i dijagonale

$$2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^8=256.$$