4. Zadatak

Funkciju $f$ možemo zapisati u obliku

$$f(x)=\sqrt{(x-3)^2}-2=|x-3|-2.$$

Za funkciju $f$ vrijedi:

$$\begin{aligned} x-3<0&\Rightarrow f(x)=-x+3-2=-x+1,\\ x-3\geq0&\Rightarrow f(x)=x-3-2=x-5. \end{aligned}$$

Funkciju $f$ možemo zapisati u obliku

$$f(x)= \begin{cases} -x+1,&x<3,\\ x-5,&x\geq3. \end{cases}$$

Za funkciju $g$ vrijedi:

$$\begin{aligned} x\leq-3&\Rightarrow g(x)=-x-3+x-2=-5,\\ -3<x<2&\Rightarrow g(x)=x+3+x-2=2x+1,\\ x\geq2&\Rightarrow g(x)=x+3-x+2=5. \end{aligned}$$

Funkciju $g$ možemo zapisati u obliku

$$g(x)= \begin{cases} -5,&x\leq-3,\\ 2x+1,&-3<x<2,\\ 5,&x\geq2. \end{cases}$$

Nacrtajmo grafove funkcija $f$ i $g$.

Traženi mnogokut je četverokut kojem su dva vrha točke u kojima se sijeku grafovi funkcija $f$ i $g$.

Jedno je sjecište točka za čije koordinate vrijedi $-3<x<2$, $x<3$ i

$$\begin{cases} y=-x+1,\\ y=2x+1, \end{cases}$$

i njene su koordinate $(0,1)$.

Drugo je sjecište točka za čije koordinate vrijedi $x\geq3$, $x\geq2$ i

$$\begin{cases} y=5,\\ y=x-5, \end{cases}$$

i njene su koordinate $(10,5)$.

Preostala su dva vrha mnogokuta točke s koordinatama $(2,5)$, odnosno $(3,-2)$.

Površinu traženog četverokuta računamo rastavljanjem na pravokutnik te tri trokuta, kao na slici.

Tražena površina iznosi

$$P=\frac{6\cdot2}{2}+6\cdot2+\frac{1\cdot2}{2}+\frac{6\cdot6}{2}=37.$$