3. Zadatak

Označimo sa $S$ središte i s $R$ polumjer kružnice opisane trokutu $ABC$.

Neka je $\varphi=|\angle CSA|$ mjera kuta $\angle CSA$ izražena u stupnjevima.

Tada za duljinu kružnog luka $\widehat{CA}$ vrijedi

$$|\widehat{CA}|=R\pi\cdot\frac{\varphi}{180^\circ}.$$

Neka je $\beta=|\angle CBA|$. S obzirom da su $\angle CBA$ i $\angle CSA$ obodni i središnji kut nad tetivom $AC$, vrijedi $\varphi=2\beta$.

Primjenom poučka o kosinusu na trokut $ABC$ vrijedi

$$(2\sqrt3-2)^2 =2^2+(3\sqrt2-\sqrt6)^2 -2\cdot2\cdot(3\sqrt2-\sqrt6)\cos\beta,$$

odnosno

$$\cos\beta =\frac{3-\sqrt3}{3\sqrt2-\sqrt6} =\frac{\sqrt2}{2}.$$

Iz $\cos\beta=\frac{\sqrt2}{2}$ slijedi $\beta=45^\circ$.

Nadalje, vrijedi

$$2R=\frac{|AC|}{\sin\beta},$$

iz čega slijedi

$$R=\frac{2\sqrt3-2}{\sqrt2}=\sqrt6-\sqrt2.$$

Konačno, budući da je $\varphi=2\beta=90^\circ$, slijedi

$$|\widehat{CA}| =\frac{(\sqrt6-\sqrt2)\cdot\pi\cdot90^\circ}{180^\circ} =(\sqrt6-\sqrt2)\frac{\pi}{2}.$$