1. Zadatak

Rješimo sustav i izračunajmo $m$ i $n$.

Pomnožimo drugu jednadžbu s $\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}$:

$$(m+n)(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}) =6(\sqrt[3]{m^2}-\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2}) (\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}).$$

Množenjem i sređivanjem (ili primjenom formule za zbroj kubova) dobivamo

$$(m+n)(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})=6(m+n),$$

te dijeljenjem s $m+n$ ($m+n\neq0$ zbog prvog uvjeta u zadatku) slijedi

$$\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}=6.$$

Rješavanjem sustava

$$\begin{cases} \sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n}=2,\\ \sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}=6 \end{cases}$$

dobivamo

$$\sqrt[3]{m}=4,\qquad\sqrt[3]{n}=2,$$

odnosno

$$m=64,\qquad n=8.$$

Tražena kvadratna jednadžba glasi

$$a(x-64)(x-8)=0,\qquad\text{gdje je }a\neq0,$$

odnosno

$$a(x^2-72x+512)=0.$$

Učenik može napisati jednadžbu sa bilo kojim realnim brojem $a\neq0$.