5. Zadatak

Označimo:

– $S_{cc}$ - zbroj svih zajedničkih površina crnih polja gornje i donje ploče,

– $S_{cb}$ - zbroj svih zajedničkih površina crnih polja gornje i bijelih polja donje ploče,

– $S_{bc}$ - zbroj svih zajedničkih površina bijelih polja gornje i crnih polja donje ploče,

– $S_{bb}$ - zbroj svih zajedničkih površina bijelih polja gornje i donje ploče.

Tada vrijedi $S=S_{cc}+S_{cb}+S_{bc}+S_{bb}$, gdje je $S$ površina pravilnog osmerokuta koji je presjek dviju ploča.

Nazovimo položaj ploča na slici početnim.

Ako zarotiramo gornju ploču za $90^\circ$ oko njezinog središta, crna polja te ploče će doći na mjesta njenih bijelih polja iz početnog položaja, pa je $S_{cc}=S_{bc}$ i $S_{cb}=S_{bb}$.

Ako zarotiramo donju ploču za $90^\circ$ oko njenog središta, njena crna polja će doći na mjesta njenih bijelih polja iz početnog položaja, pa je $S_{cc}=S_{cb}$, $S_{bc}=S_{bb}$ tj.

$$S_{cc}=S_{cb}=S_{bc}=S_{bb}\quad\text{odnosno}\quad S_{cc}=\frac14S.$$

Nadalje, površina osmerokuta je jednaka površini kvadrata (šahovske ploče) umanjene za četverostruku površinu odsječenog trokuta, tj. $S=64-4P$.

Odsječeni trokut je pravokutan jednakokračan trokut, pa je njegova baza jednaka dvostrukoj visini, tj. $a=2v$.

Ako s $d$ označimo duljinu dijagonale šahovske ploče, visina trokuta je $v=\dfrac{d-a}2=4(\sqrt2-1)$.

Površina trokuta je $P=\dfrac{av}2=v^2=16(3-2\sqrt2)$.

Dakle, $S=64-4P=128(\sqrt2-1)$.

Konačno je $S_{cc}=32(\sqrt2-1)$.