2. Zadatak

Da bi jednadžba imala rješenje moraju biti zadovoljeni sljedeći uvjeti:

$$a>0,\quad a\neq1,\quad x>0,\quad x>a-a^2.$$

Kako je $\log_{a^2}x=\dfrac{\log_a x}{\log_a a^2}=\dfrac12\log_a x$ zadana funkcija je $f(x)=\dfrac32\log_a x$.

Iz $f(x+a^2-a)=2f(x)$ dobivamo

$$\frac32\log_a(x+a^2-a)=2\cdot\frac32\log_a x\quad\text{tj.}\quad\log_a(x+a^2-a)=\log_a x^2.\tag{1}$$

Iz logaritamske jednadžbe (1) dobivamo kvadratnu jednadžbu $x^2-x+a-a^2=0$.

Riješimo ju faktorizacijom:

$$0=x^2-a^2-(x-a)=(x-a)(x+a)-(x-a)=(x-a)(x+a-1).$$

Njezina rješenja su $x_1=a$, $x_2=1-a$.

Prvo rješenje ima smisla za svaki pozitivan $a$ osim za $a=1$, a drugo za $a\in\langle0,1\rangle$.

Naime, za $x_1=a$ imamo $a>a-a^2$ tj. $a^2>0$, što je istinito za svaki $a$.

Za $x_2>0$ dobivamo $1-a>0$, odnosno $a\in\langle0,1\rangle$ i za $x_2=1-a$ mora biti $1-a>a-a^2$ tj. $(a-1)^2>0$ pa je $x$ za dopuštene $a$ uvijek definiran.