4. Zadatak

a) Neka je polumjer osnovke stošca $|BD|=x$, a visina $|CD|=y$. Točke $E$ i $F$ su na dužini $BC$, $T$ na $PF$ i četverokut $QTFE$ je pravokutnik.

Iz sličnosti trokuta $QEC$ i $PTQ$ imamo $\dfrac{|QC|}{|QE|}=\dfrac{|PQ|}{|PT|}$, a odavde

$$\frac{y-R-a}r=\frac a{R-r}.$$

Nakon sređivanja dobivamo

$$y=\frac{(a+R-r)R}{R-r}.\tag{1}$$

Iz sličnosti trokuta $BDC$ i $PTQ$ imamo $\dfrac{|BD|}{|CD|}=\dfrac{|PT|}{|QT|}$, odnosno

$$\frac xy=\frac{R-r}{\sqrt{a^2-(R-r)^2}}.\tag{2}$$

Iz (1) i (2) dobivamo $x=y\cdot\dfrac{R-r}{\sqrt{a^2-(R-r)^2}}$ tj.

$$x=R\sqrt{\frac{a+R-r}{a-R+r}}.\tag{3}$$

Iz (1), (2) i (3) imamo

$$V=\frac{x^2\pi\cdot y}3=\frac{R^3(a+R-r)^2\pi}{3(R-r)(a-R+r)}.$$

b) U specijalnom slučaju za $R=10$, $r=6$, $a=8$ dobivamo $V=3000\pi$.