1. Zadatak

Prvo rješenje. Napišimo jednadžbu u obliku $\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x$.

Da bi jednadžba bila definirana mora biti $1-x^2\geq0$ tj. $x\in[-1,1]$. Zato možemo staviti $x=\sin\alpha$, gdje je $\alpha\in\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$. Sada jednadžba postaje

$$\sqrt{1-\sin^2\alpha}=4\sin^3\alpha-3\sin\alpha\quad\text{tj.}\quad|\cos\alpha|=-\sin3\alpha.$$

Za $\alpha\in\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$ je $\cos\alpha\geq0$, pa jednadžba poprima oblik

$$\cos\alpha=-\sin3\alpha\quad\text{tj.}\quad\sin3\alpha+\sin\left(\frac\pi2-\alpha\right)=0.$$

Lijevu stranu možemo napisati u obliku produkta:

$$2\sin\frac{3\alpha+\frac\pi2-\alpha}2\cdot\cos\frac{3\alpha-\frac\pi2+\alpha}2=0\quad\text{tj.}$$ $$\sin\left(\alpha+\frac\pi4\right)\cdot\cos\left(2\alpha-\frac\pi4\right)=0.$$

Imamo dvije mogućnosti:

$1^\circ\ \sin\left(\alpha+\dfrac\pi4\right)=0$

Opće rješenje ove jednadžbe je $\alpha=-\dfrac\pi4+k\pi$, $k\in\mathbb Z$;

$2^\circ\ \cos\left(2\alpha-\dfrac\pi4\right)=0$

čije je opće rješenje $\alpha=\dfrac{3\pi}8+\dfrac{k\pi}2$, $k\in\mathbb Z$.

Jednadžba ima tri rješenja u intervalu $\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$: $-\dfrac\pi4$, $-\dfrac\pi8$, $\dfrac{3\pi}8$.

Rješenja polazne jednadžbe su:

$$\begin{aligned}x_1&=\sin\left(-\frac\pi4\right)=-\frac{\sqrt2}2,\\x_2&=\sin\left(-\frac\pi8\right)=-\sqrt{\frac{1-\cos\frac\pi4}2}=-\frac12\sqrt{2-\sqrt2},\\x_3&=\sin\left(\frac{3\pi}8\right)=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{3\pi}4}2}=\frac12\sqrt{2+\sqrt2}.\end{aligned}$$

Drugo rješenje. Jednadžbu zapišimo u obliku $\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x$. Da bi ona bila definirana mora biti $1)\ 1-x^2\geq0$, $2)\ 4x^3-3x=x(2x-\sqrt3)(2x+\sqrt3)\geq0$.

Prvi uvjet je zadovoljen za $x\in[-1,1]$, a drugi za $x\in\left[-\dfrac{\sqrt3}2,0\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt3}2,\infty\right\rangle$.

Oba uvjeta su zadovoljena za $x\in\left[-\dfrac{\sqrt3}2,0\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt3}2,1\right]$.

Kvadriranjem jednadžbe i sređivanjem dobivamo

$$16x^6-24x^4+10x^2-1=0.$$

Uz supstituciju $t=x^2$ imamo $16t^3-24t^2+10t-1=0$. Faktorizacijom dobivamo

$$(2t-1)(8t^2-8t+1)=0.$$

Jednadžba se svodi na sljedeće dvije:

1. Rješenje jednadžbe $2t-1=0$ je $t=\dfrac12$. Zadovoljava samo $x_1=-\dfrac{\sqrt2}2$.

2. Rješenja kvadratne jednadžbe $8t^2-8t+1=0$ su $t=\dfrac{2\pm\sqrt2}4$. Odavde se dobije $x=\pm\dfrac12\sqrt{2\pm\sqrt2}$. Zadovoljavaju samo rješenja $x_2=\dfrac12\sqrt{2+\sqrt2}$ i $x_3=-\dfrac12\sqrt{2-\sqrt2}$.

Time su dana sva tri rješenja polazne jednadžbe.