3. Zadatak

Prvo rješenje.

Promotrimo potencije $6^n$, $n\geq2$.

$$6^2=36,\ 6^3=216,\ 6^4=1296,\ 6^5=\ldots76,\ 6^6=\ldots56,\ 6^7=\ldots36,\ 6^8=\ldots16,\ldots$$

Očito je dvoznamenkasti završetak potencije $6^n$, $n\geq2$ jedan od pet brojeva $36$, $16$, $96$, $76$, $56$ koji se tim redom izmjenjuju. Odnosno, svaka peta potencija ima isti dvoznamenkasti završetak.

Potencija $6^n$, $n\geq2$ ima određeni dvoznamenkasti završetak ovisno o ostatku pri dijeljenju broja $n-1$ brojem $5$.

Ako je taj ostatak $0$, završetak je $56$;

ako je ostatak $1$, završetak je $36$;

ako je ostatak $2$, završetak je $16$;

ako je ostatak $3$, završetak je $96$;

ako je ostatak $4$, završetak je $76$.

Broj $6^{6^6}=6^{46656}$ ima dvoznamenkasti završetak $56$ jer je broj $46655$ djeljiv s $5$.

Nadalje broj $6^{6^{6^6}}=6^{6^{46656}}$ također ima dvoznamenkasti završetak $56$ jer je eksponent umanjen za jedan djeljiv s $5$.

Iz istog će razloga i dodavanjem ”nove šestice” svaki sljedeći eksponent imati završetak $56$, pa tako i broj

$$\underbrace{6^{6^{\cdot^{\cdot^{\cdot^6}}}}}_{2019}$$

ima zadnje dvije znamenke $56$.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju promatramo prvih nekoliko potencija broja $6$, odnosno njihove dvoznamenkaste završetke:

$$6^2=36,\ 6^3=216,\ 6^4=1296,\ 6^5=\ldots76,\ 6^6=\ldots56,\ 6^7=\ldots36,\ 6^8=\ldots16,\ldots$$

Očito je dvoznamenkasti završetak potencije $6^n$, $n\geq2$ jedan od pet brojeva $36$, $16$, $96$, $76$, $56$ koji se tim redom izmjenjuju. Odnosno, svaka peta potencija ima isti dvoznamenkasti završetak.

Za potencije $6^n$, $n\geq2$, učenik može promatrati i ostatak pri dijeljenju eksponenta $n$ brojem $5$ (umjesto $n-1$ kao u prvom rješenju). Tada, ako je

ostatak $2$ - završetak je $36$,

ostatak $3$ - završetak je $16$,

ostatak $4$ - završetak je $96$,

ostatak $0$ - završetak je $76$,

ostatak $1$ – završetak je $56$.

Kako je u zadanoj potenciji broja $6$ eksponent $n$ također potencija broja $6$, svaka pozitivna potencija broja $6$ ima ostatak $1$ pri dijeljenju s $5$. To znači da sve potencije $6^n$ gdje je $n$ potencija broja $6$ imaju dvoznamenkasti završetak $56$, pa tako i zadana potencija

$$\underbrace{6^{6^{\cdot^{\cdot^{\cdot^6}}}}}_{2019}.$$