6. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $B$ količina vode koja stane u bazen, $x$ broj sati potrebnih da prva slavina sama napuni bazen, a $y$ broj sati potrebnih da druga slavina sama napuni bazen.

Omjer vremena punjenja (kad su obje slavine otvorene) jednak je omjeru količine vode u bazenu, odnosno vrijedi

$$\frac{B-4200}{B+3000}=\frac25.$$

Slijedi da je količina vode koja stane u bazen jednaka $B=9000$ litara.

Tada za jedan sat slavine zajedno ispuste

$$\frac{9000-4200}{2}=\frac{4800}{2}=2400\text{ litara}.$$

Prema uvjetu iz zadatka, omjer vremena potrebnih da svaka slavina posebno napuni bazen je

$$\frac xy=\frac23,$$

pa je

$$y=\frac32x. \tag{*}$$

Prva slavina za jedan sat napuni $\dfrac1x$ punog bazena, odnosno $\dfrac Bx$ litara.

Druga slavina za jedan sat napuni $\dfrac1y$ punog bazena, odnosno $\dfrac By$ litara.

Kako obje slavine zajedno za jedan sat ispuste $2400$ litara vode u bazen, vrijedi

$$B\left(\frac1x+\frac1y\right)=2400,$$

pa je zbog $(*)$

$$B\left(\frac1x+\frac2{3x}\right)=2400.$$

Dobivamo

$$\frac5{3x}\cdot9000=2400.$$

Dakle, vrijeme potrebno da prva slavina sama napuni bazen je $x=\dfrac{25}{4}=6.25$ sati, a druga slavina će napuniti bazen za $y=\dfrac32x=\dfrac{75}{8}=9.375$ sati.

Drugo rješenje.

Neka je $B$ količina vode koja stane u bazen, $x$ broj sati potrebnih da prva slavina sama napuni bazen, a $y$ broj sati potrebnih da druga slavina sama napuni bazen.

Prema uvjetu iz zadatka, omjer vremena potrebnih da svaka slavina posebno napuni bazen je

$$\frac xy=\frac23,$$

pa je

$$y=\frac32x. \tag{*}$$

Prva slavina za jedan sat napuni $\dfrac1x$ punog bazena, a druga slavina za jedan sat napuni $\dfrac1y$ punog bazena.

Obje slavine zajedno za jedan sat napune $\left(\dfrac1x+\dfrac1y\right)$ punog bazena.

Tada je u slučaju, kada su slavine otvorene $2$ sata

$$2\cdot\left(\frac1x+\frac1y\right)=1-\frac{4200}{B},$$

a kada su otvorene $5$ sati

$$5\cdot\left(\frac1x+\frac1y\right)=1+\frac{3000}{B}.$$

Ovaj sustav jednadžbi možemo riješiti tako da prvo podijelimo jednadžbe, a tada dobivamo

$$\frac{B-4200}{B+3000}=\frac25,$$

odnosno $B=9000$ litara.

Ako sada u prvu jednadžbu sustava uvrstimo dobiveni rezultat, slijedi

$$2\cdot\left(\frac1x+\frac1y\right)=\frac{4800}{9000}=\frac8{15},$$

odakle uz primjenu $(*)$ dobivamo

$$2\cdot\left(\frac1x+\frac2{3x}\right)=\frac8{15}.$$

Slijedi

$$\frac5{3x}=\frac4{15}.$$

Stoga je $x=\dfrac{25}{4}=6.25$ sati,

a druga slavina će napuniti bazen za $y=\dfrac32x=\dfrac{75}{8}=9.375$ sati.