2. Zadatak

Sređivanjem jednakosti $\dfrac{a}{a+b^2}+\dfrac{b}{b+a^2}=\dfrac45$ redom dobivamo

$$\frac{ab+a^3+ab+b^3}{(a+b^2)(b+a^2)}=\frac45,$$ $$5(a^3+2ab+b^3)=4(ab+a^3+b^3+a^2b^2),$$ $$a^3+b^3=4a^2b^2-6ab.$$

Prema uvjetu zadatka $ab=-1$, pa je $a^3+b^3=10$.

Kubiranjem te jednakosti slijedi

$$(a^3+b^3)^3=1000,$$ $$a^9+3a^6b^3+3a^3b^6+b^9=1000,$$ $$a^9+b^9=1000-3a^3b^3(a^3+b^3).$$

Kako je $ab=-1$ i $a^3+b^3=10$, slijedi $a^9+b^9=1000-3(-1)^3\cdot10=1030$.