1. Zadatak

Prvo rješenje.

$$\begin{aligned} \frac{\sin x}{2−3\cos x} &=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right)−3\left(\cos^2\frac{x}{2}−\sin^2\frac{x}{2}\right)}\\ &=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{−\cos^2\frac{x}{2}+5\sin^2\frac{x}{2}}. \end{aligned}$$

Podijelimo li u posljednjoj jednakosti brojnik i nazivnik sa $\sin^2\frac{x}{2}$, slijedi

$$\frac{\sin x}{2−3\cos x}=\frac{2\operatorname{ctg}\frac{x}{2}}{−\operatorname{ctg}^2\frac{x}{2}+5}=\frac{1}{−\frac14+5}=\frac4{19}.$$

Drugo rješenje.

Iz $\operatorname{ctg}^2\frac{x}{2}=\frac14$ slijedi

$$\frac{1+\cos x}{1−\cos x}=\frac14,$$

odnosno

$$\cos x=−\frac35.$$

Tada je

$$\sin^2x=1−\frac9{25}=\frac{16}{25}.$$

Kako je $\operatorname{ctg}\frac{x}{2}=\frac12$, slijedi da je

$$\frac{x}{2}\in\left\langle0,\frac\pi2\right\rangle\cup\left\langle\pi,\frac{3\pi}{2}\right\rangle.$$

Tada je $x\in\langle0,\pi\rangle$, a kako je sinus pozitivan na tom intervalu slijedi

$$\sin x=\frac45.$$

Traženi izraz ima vrijednost

$$\frac{\sin x}{2−3\cos x}=\frac{\frac45}{2+\frac95}=\frac4{19}.$$