Ako za stranice a, b i redom njihove nasuprotne kutove α, β trokuta ABC vrijedi
(a2+b2)sin(α−β)=(a2−b2)sin(α+β),
onda je trokut ABC jednakokračan ili pravokutan. Dokažite!
Rješenje
(a2+b2)sin(α−β)=(a2−b2)sin(α+β),
(a2+b2)(sinαcosβ−cosαsinβ)=(a2−b2)(sinαcosβ+cosαsinβ),
2b2sinαcosβ=2a2cosαsinβ.
Iz poučka o sinusu slijedi
a=sinβbsinα.
Tada je
b2sinαcosβ=(sinβbsinα)2cosαsinβ,
što nakon sređivanja daje
sinβcosβ=sinαcosα,
tj.
sin(2β)=sin(2α).
Odatle slijedi
2β=2αili2β=180∘−2α,
odnosno
β=αiliβ+α=90∘,
što znači da je trokut ABC jednakokračan ili pravokutan.
