3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $x_0$ cjelobrojno rješenje jednadžbe $x^{2014}+kx^2+36=0$. Tada je

$$k=−x_0^{2012}−\frac{36}{x_0^2}.$$

Da bi $k$ bio cijeli broj, $x_0^2$ mora biti djelitelj broja 36, odnosno

$$x_0^2\in\{1,4,9,36\}.$$

Slijedi

$$k\in\{−37,\ −4^{1006}−9,\ −9^{1006}−4,\ −36^{1006}−1\}.$$

Drugo rješenje.

Ako jednadžba ima cjelobrojno rješenje $x_0$, ono mora biti djelitelj slobodnog člana, u ovom slučaju broja 36.

Ispitamo li redom sve djelitelje slobodnog člana,

$$\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm9,\pm12,\pm18,\pm36\}$$

(dovoljno je uzeti pozitivne zbog parnosti), dobivamo tražena rješenja.